4. 基于AX=XB的手眼标定方程构建与求解
AX=XB 方程的来源与构建
手眼标定的核心是建立机器人末端运动与相机观测运动之间的约束。设机器人末端在两次采样间的相对位姿为 A，相机坐标系下同一运动对应的相对位姿为 B，待求的手眼变换为 X（相机相对末端的位姿，或末端相对相机的位姿，取决于配置）。在眼在手上配置中，标定板固定于世界，相机随末端运动，因此有：
A · X = X · B
其中 A 由机器人正运动学给出，B 由相机对固定标定板的位姿观测给出。将 A 和 B 分别写成旋转与平移两部分：
A = [R_A t_A] B = [R_B t_B] X = [R_X t_X]
[ 0 1] [ 0 1] [ 0 1]展开后得到旋转方程与平移方程：
R_A · R_X = R_X · R_B (旋转约束)
R_A · t_X + t_A = R_X · t_B + t_X (平移约束)旋转约束只与 R_X 有关，可先独立求解；平移约束在 R_X 已知后变为关于 t_X 的线性方程。这就是旋转与平移解耦求解的基础。
旋转方程求解：SVD 方法
旋转约束 R_A · R_X = R_X · R_B 可改写为 R_A = R_X · R_B · R_X⁻¹，即 R_A 与 R_B 是相似矩阵，具有相同的旋转角。利用这一性质，将多组相对运动堆叠为矩阵 M = Σ R_Ai · R_Biᵀ，对 M 做 SVD 分解 M = U · S · Vᵀ，则 R_X = V · Uᵀ（需处理行列式为负的情况）。
平移方程求解：最小二乘
旋转求解完成后，平移约束变为线性方程：
(R_Ai - I) · t_X = R_X · t_Bi - t_Ai将 N 组运动堆叠为 C · t_X = d，其中 C 为 3N×3 矩阵，d 为 3N×1 向量，用最小二乘求解 t_X = (CᵀC)⁻¹Cᵀd。
误差评估与结果判断
求解完成后，用以下指标判断标定质量：
- 旋转误差：对每组运动计算
ΔR = R_Ai · R_X - R_X · R_Bi，取旋转矩阵对应的角度误差，统计均值与最大值。 - 平移误差：计算
Δt = (R_Ai - I) · t_X - (R_X · t_Bi - t_Ai)，取模长，统计均值与最大值。 - 判断依据：旋转误差均值通常应小于 0.5°，平移误差均值应小于 2 mm（具体阈值取决于机器人重复定位精度与相机检测精度）。若误差偏大，需检查运动激励是否充分、标定板位姿是否准确。
实操提示：构建方程时，建议至少采集 10 组以上运动，且运动应包含绕不同轴的旋转，避免所有旋转轴共线导致
M 矩阵秩亏。若使用四元数表示旋转，可直接构建线性方程求解，避免 SVD 中的符号歧义。
常见问题：若旋转误差正常但平移误差很大，通常是因为机器人末端旋转中心与相机光心不重合，或标定板在相机中的平移观测存在系统偏差。此时应检查手眼变换的物理含义是否与配置一致（眼在手上 vs 眼在手外）。