2. 涂布线张力系统建模

涂布线上的张力系统，本质上是一个“卷径不断变化、惯量不断变化”的时变系统。放卷辊把基材送出，收卷辊把基材卷起，中间经过涂布、干燥、冷却、牵引等多段辊组。要让基材在涂布头处既不松弛起皱、也不拉伸变形，就必须让各段张力稳定在工艺窗口内。理解张力从哪里来、受什么影响、如何被测量和调节，是建立张力控制模型的第一步。

一、放卷与收卷的张力产生机理

张力不是凭空产生的，它来自“速度差”和“力矩差”。以放卷为例：放卷辊由电机或磁粉制动器提供反向力矩，牵引辊以恒定线速度向前拉料。当牵引速度略大于放卷释放速度时，基材被拉紧，产生张力。收卷则相反：收卷电机主动旋转，卷取速度略大于前段牵引速度，基材被拉紧后卷绕到卷芯上。

因此，张力的物理来源可以归纳为三点：

• 速度差：相邻辊面线速度不一致，基材被弹性拉伸，产生张力。
• 力矩差：放卷制动转矩或收卷驱动转矩与基材张力形成的阻力矩不平衡。
• 弹性回复：基材本身具有弹性模量，拉伸量决定张力大小，遵循胡克定律的近似关系。

在涂布线中，放卷段通常采用“被动放卷+制动器”或“主动放卷+伺服电机”两种方式。前者结构简单、成本低，但张力随卷径变化明显；后者响应快、张力稳定，但需要卷径实时计算。收卷段则普遍采用伺服电机或变频电机驱动，配合张力传感器或力矩控制模式。

二、张力与卷径的关系

卷径是张力控制中最关键的时变参数。放卷时卷径从大变小，收卷时卷径从小变大。若保持电机输出转矩恒定，则基材张力会随卷径变化而反向变化。设张力为 T，卷径为 D，电机输出转矩为 M，忽略摩擦和加速转矩，有：

M = T × D / 2
即 T = 2M / D

这说明：当转矩 M 不变时，卷径 D 增大，张力 T 减小；卷径减小，张力增大。收卷过程中卷径从 200 mm 增大到 800 mm，若转矩不变，张力会降到原来的四分之一。因此，实际系统必须根据卷径实时调整转矩或速度，才能维持张力恒定。

卷径的获取方式主要有三种：

• 直接测量：用超声波、激光或接触式测距传感器测量卷径，精度高但安装受限。
• 线速度比计算：用卷辊角速度与基材线速度之比推算卷径，D = v / (πn)，其中 n 为卷辊转速。
• 积分法：根据基材厚度和累计转角积分计算卷径，D = D₀ + 2hθ/π，适合厚度已知的稳定工况。

三、张力传感器与执行器

张力传感器负责“感知”，执行器负责“动作”，两者构成闭环控制的基础。

张力传感器常见形式有：

• 张力辊式传感器：基材绕过测力辊，辊两端安装应变式或压电式测力元件，通过合力分解得到张力。安装时需保证包角稳定，包角变化会直接影响测量值。
• 浮动辊式传感器：浮动辊由气缸或弹簧支撑，基材张力与气缸推力平衡，通过位移传感器检测浮动辊位置间接反映张力。结构简单，但动态响应较慢。
• 旁压式传感器：直接安装在导向辊轴承座下方，测量轴承座受力，适合空间受限的场合。

执行器主要包括：

• 磁粉制动器/离合器：用于放卷制动，转矩与励磁电流近似成正比，控制简单，但低速时转矩波动较大。
• 伺服电机：用于放卷和收卷，可工作在转矩模式或速度模式，响应快、精度高，是现代涂布线的主流选择。
• 变频电机+矢量控制：成本较低，适合对张力精度要求不高的收卷段。
• 气动制动器：通过气压调节制动转矩，多用于低速、大卷径的放卷场合。

四、张力动力学方程建立

要设计控制器，必须建立张力与速度、卷径、惯量之间的动力学关系。以放卷段为例，取基材从放卷辊到牵引辊之间的一段为研究对象，设：

• T：基材张力（N）
• v₁：放卷辊面线速度（m/s）
• v₂：牵引辊面线速度（m/s）
• E：基材弹性模量（Pa）
• A：基材横截面积（m²）
• L：两辊间基材长度（m）

根据胡克定律，张力与应变的关系为 T = EAε，而应变变化率与速度差相关：

dT/dt = (EA/L) × (v₂ - v₁)

这就是张力动力学的基本方程。它表明：张力变化率正比于速度差，比例系数为 EA/L。当牵引速度大于放卷速度时，张力上升；反之张力下降。该方程忽略了基材质量、摩擦和弯曲刚度，适用于低速、薄型基材的简化建模。

若考虑放卷辊的转动惯量，还需补充力矩平衡方程：

M_motor - T × D/2 - Bω = J × dω/dt

其中 M_motor 为电机输出转矩，B 为阻尼系数，J 为放卷辊及卷材的等效转动惯量，ω 为角速度。转动惯量 J 随卷径变化：J = J₀ + (πρw/32)(D⁴ - D₀⁴)，其中 ρ 为卷材密度，w 为幅宽，D₀ 为卷芯直径。可见卷径越大，惯量越大，加速时需要的转矩也越大。

将张力方程与力矩方程联立，就得到放卷段的完整动力学模型。收卷段形式类似，只是速度差方向相反、惯量随卷径增大而增大。实际工程中，常将模型线性化后用于 PID 或前馈-反馈控制器设计。

上图把放卷—牵引段的张力产生、卷径影响、传感器与执行器位置以及核心动力学方程放在同一张关系图中。可以看到，张力控制不是单一环节的问题，而是速度差、卷径、惯量、测量与执行共同作用的结果。实际建模时，通常先按上述方程建立标称模型，再通过实验辨识 EA/L 和摩擦阻尼等参数，最后在控制器中加入卷径前馈和张力反馈，才能在全卷径范围内保持张力稳定。