3. 数值模型与输出特征
在讨论输出不确定性之前，必须先厘清一个基本事实：数值模型的输出并不是凭空产生的，它由三类要素共同决定——输入条件（如边界条件、初始场、驱动数据）、模型参数（如物理常数、经验系数、网格分辨率）以及模型结构（方程形式、离散格式、闭合方案）。输出不确定性正是这三类要素的不确定性经过模型映射后叠加、传播、放大的结果。理解这条映射链，是后续所有评估方法的前提。
可以把模型抽象为一个映射算子：Y = M(X, θ, S)。其中 X 为输入向量，θ 为参数向量，S 表示模型结构（含离散化方案），Y 为输出。这个式子看似简单，却揭示了三层含义。第一，输出对输入和参数的敏感程度并不均匀，某些参数微调即引起输出显著漂移，另一些则几乎无影响，这就是敏感性分析要解决的问题。第二，输入、参数、结构三类不确定性在映射过程中可能相互抵消，也可能同向叠加，因此不能孤立地评估某一项。第三，映射 M 本身往往是非线性的，这意味着输入端的对称分布经过模型后可能变成偏态分布，均值与置信区间不能简单线性外推。
输出不确定性的表现形态
在实际工程中，输出不确定性通常以四种形态出现，识别形态是选择评估方法的第一步。
- 数值散布型：同一模型在相同输入下，因参数扰动或初值差异，输出呈现一组离散结果。例如水文模型中饱和导水率在 0.8～1.2 倍基准值间抽样，洪峰流量输出落在 2350～2680 m³/s 区间。这类不确定性可用均值、标准差、分位数刻画。
- 区间型：输出被限定在一个上下界内，但界内分布未知。常见于参数仅有取值范围而缺乏概率信息的场景，适合用区间分析或模糊集方法处理。
- 分布型：通过蒙特卡洛抽样得到输出的完整经验分布，可进一步拟合正态、对数正态或广义极值分布，用于超越概率计算。
- 结构性偏差型：输出整体偏离观测，且偏差随条件系统性变化（如模型在低流量段普遍高估）。这类不确定性无法靠参数抽样消除，需通过结构识别或多模型集合来暴露。
需要强调的是，前三种形态描述的是“输出自身的随机性”，第四种描述的是“模型与真实世界之间的系统差距”。评估报告若只给出置信区间而忽略结构性偏差，容易造成“精度很高但方向错误”的误判。
确定性模型与随机模型的区别
确定性模型对给定输入和参数给出唯一输出，其不确定性只能通过外部扰动实验（如参数扫描、情景对比）间接揭示；随机模型则把输入、参数或过程本身视为随机变量，输出天然是一个分布。二者的差别不在于“是否精确”，而在于不确定性的表达位置：确定性模型把不确定性留在模型之外，随机模型把它纳入模型之内。
以地下水溶质运移为例。确定性模型给定弥散度、流速和源强，输出一条确定的浓度穿透曲线；若要做不确定性评估，需在外层套一个抽样循环，对弥散度按对数正态分布抽 500 组，每组跑一次模型，最终得到 500 条曲线的包络。而随机模型（如随机游走粒子追踪）直接把弥散过程建模为随机过程，单次运行即产生浓度分布的统计特征。前者实现简单、复用现有代码，但计算量大且依赖抽样设计；后者理论自洽、单次即可给出分布，但建模门槛高、对过程机理假设更敏感。
从映射链看评估切入点
下图把上述关系组织为一条从不确定性源到输出形态的映射链，并标出三类典型评估切入点，便于在实际项目中定位工作重心。
图中左侧三类源并非等权。工程实践中，参数不确定性通常最容易量化，输入不确定性次之，结构不确定性最难刻画却往往贡献最大。一个常见的误区是把大量精力投入参数抽样，却对模型结构偏差只字不提，最终给出的窄置信区间反而掩盖了真实风险。合理的做法是先做敏感性筛查，识别主导源，再决定抽样预算与评估方法。
一个可操作的示例
设某降雨径流模型需评估 24 小时洪峰流量的不确定性。基准参数下输出 2500 m³/s。对三个关键参数分别设定分布：汇流参数 n 取均匀分布 U(0.08, 0.12)，下渗率 f 取正态分布 N(12, 2) mm/h，糙率 m 取三角分布 T(0.025, 0.030, 0.040)。采用拉丁超立方抽样 300 组，逐组运行模型，得到洪峰流量样本。若样本标准差为 120 m³/s、5% 与 95% 分位数为 2310 与 2705 m³/s，则可报告“洪峰流量中位数约 2500 m³/s，90% 不确定性区间为 [2310, 2705]”。随后做秩相关分析，若发现 n 与输出的秩相关系数达 0.78，而 m 仅 0.15，则说明汇流参数是主导源，后续观测与率定应优先针对该参数加密。这一流程把“映射链—形态识别—敏感性定位”串成了闭环，也是确定性模型开展不确定性评估的典型路径。
归根结底，数值模型输出的不确定性不是需要被“消除”的缺陷，而是模型认知状态的诚实表达。厘清输入、参数、结构到输出的映射关系，识别不确定性以何种形态呈现，再据此选择确定性框架下的抽样评估或随机模型的内生表达，才能让评估结论既可用又可解释。