4. 参数空间与覆盖度量

拉丁超立方采样（LHS）在参数空间中生成样本时，各维度的取值范围往往差异巨大：弹性模量可能是 200 GPa 量级，而泊松比只有 0.3 左右。如果直接在原始物理量上计算距离或偏差，量纲大的维度会完全主导度量结果，覆盖均匀性评估就失去了意义。因此，在讨论任何覆盖指标之前，必须先完成参数范围的归一化，把每个维度映射到统一的尺度上。

参数范围归一化

归一化的核心操作是把第 j 维参数从物理区间 [a_j, b_j] 线性映射到 [0, 1]：

x'_ij = (x_ij - a_j) / (b_j - a_j)

其中 x_ij 是第 i 个样本在第 j 维的原始值。归一化后，所有维度共享同一尺度，欧氏距离、离散度和星偏差才有可比性。需要强调的是，归一化只改变坐标表示，不改变样本在参数空间中的相对位置关系——LHS 的分层性质在归一化前后保持一致。

对于非均匀先验或对数尺度参数（如频率、渗透率），更合理的做法是先做变换再归一化。例如对数均匀分布参数可先取 y = log(x)，再在 [log a, log b] 上归一化。这一步的选择直接影响后续覆盖度量的解读，必须在文档中明确记录。

覆盖均匀性指标

归一化完成后，就可以用定量指标衡量样本集在单位超立方体 [0,1]^d 中的覆盖质量。工程上最常用的三个指标各有侧重。

最大最小距离（maximin distance）。先计算所有样本对之间的欧氏距离，取最小值 d_min，再在所有候选采样方案中最大化这个最小值。它衡量的是“最拥挤的一对样本有多近”，值越大说明样本越分散、越不容易出现局部聚集。对于 n 个样本、d 维空间，d_min 的理论上界约为 n^-1/d 量级，实际值通常低于该上界。计算时直接对归一化坐标做两两距离扫描即可，复杂度 O(n²d)，样本量在数千以内完全可接受。

离散度（discrepancy）。离散度衡量经验分布与均匀分布之间的偏差。以常用的星偏差（star discrepancy）为例，对每个样本点 x_i，考察以原点为角、以 x_i 为对角顶点的超矩形 [0, x_i)，统计落入其中的样本比例与矩形体积之差，取所有样本点上的最大绝对偏差：

D* = max_i | (1/n) * #{k : x_k 各维均 < x_i 各维} - prod_j x_ij |

星偏差越小，样本越接近理想均匀分布。它的优点是理论成熟、有 Koksma-Hlawka 不等式支撑，可直接界定积分误差上界；缺点是计算量随样本数增长较快，且对维度较高时区分度下降。

离散度的补充视角。除星偏差外，中心化离散度（centered discrepancy）和 wrap-around 离散度在样本数较少时更敏感，常被用作 LHS 优化目标。实践中不必追求单一指标的绝对最优，而应结合最大最小距离一起看：最大最小距离大但星偏差也大，说明样本分散却不均匀；两者同时改善，才说明覆盖质量真正提升。

计算示例与结果判读

假设对某材料参数做 3 维 LHS 采样，样本数 n = 10，归一化后得到一组坐标。计算最大最小距离时，逐对求欧氏距离并取最小值，若得到 d_min ≈ 0.21，而理论上界约为 10^-1/3 ≈ 0.46，说明样本分散程度尚可但仍有提升空间。再计算星偏差，若 D* ≈ 0.08，对照随机采样在同样样本量下通常为 0.1～0.15 量级，可判断该 LHS 方案优于纯随机采样。

判读时要注意指标之间的张力：一味增大 d_min 可能把样本推向超立方体边界，反而抬高星偏差。工程实践中常见的做法是设定一个可接受的 d_min 下限（例如不低于理论上界的 60%），再在此约束下最小化星偏差，或直接以 maximin 为目标做局部交换优化。无论采用哪种策略，都应把归一化方式、指标定义和计算结果一并记录在采样方案文档中，便于复现和横向比较。