3. 采样矩阵的构造方法
拉丁超立方采样（LHS）的最终产物是一个 n × d 的样本矩阵：每一行是一个样本点，每一列是一个输入维度。理解这个矩阵如何从“分层”这一核心思想一步步构造出来，比记住某个库的调用方式更重要。本节把构造过程拆成三个可独立验证的环节：分层与排列矩阵、随机置换与坐标映射、维度与规模控制。
一、分层：把每个维度切成等概率区间
LHS 的第一条约束是“每个维度上每个小区间恰好被命中一次”。设样本数为 n，对第 j 个维度，把其累积分布函数 F_j 的值域 [0,1] 等分为 n 段，第 k 段为 [(k-1)/n, k/n)。在每个区间内取一个代表值，最常用的是区间中点：
u_k = (k - 0.5) / n , k = 1, 2, ..., n这组 u_k 就是该维度在“标准均匀空间”中的分层坐标。若取 n = 5，则 u = [0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9]。注意此时还没有任何随机性——五个点均匀铺开，但顺序是固定的。真正的随机化发生在下一步：决定哪个样本点占用哪个区间。
二、排列矩阵：用置换决定“谁占哪个区间”
对每个维度独立生成一个 1..n 的随机排列 π_j，它规定了第 i 个样本在第 j 维上使用第几个区间。把所有维度的排列按列拼起来，就得到 n × d 的排列矩阵 P，其中 P[i][j] = π_j(i)。以 n = 5, d = 3 为例，一个可能的排列矩阵是：
P =
[ 3 1 5 ]
[ 1 4 2 ]
[ 5 2 4 ]
[ 2 5 1 ]
[ 4 3 3 ]逐列检查：第 1 列是 {3,1,5,2,4}，第 2 列是 {1,4,2,5,3}，第 3 列是 {5,2,4,1,3}，每列都恰好是 1 到 5 的一个排列。这正是 LHS 的“每维每层恰好一次”在离散形式下的体现。由于各列独立置换，不同维度之间的配对关系被打乱，从而获得类似随机的联合分布覆盖，而不是像全因子设计那样产生规则网格。
三、坐标映射：从区间序号回到物理量
排列矩阵给出的是区间序号，需要映射回标准均匀坐标，再经逆变换落到真实物理量。映射分两步：
- 序号 → 标准均匀值：
u[i][j] = (P[i][j] - 0.5) / n。若希望区间内也有随机性，可改为u = (P[i][j] - 1 + rand()) / n，即“随机 LHS”，但会牺牲严格的分层中点性质。 - 均匀值 → 物理值：
x[i][j] = F_j^{-1}(u[i][j])。对均匀分布[a,b]，x = a + (b-a)u；对正态分布，x = μ + σ·Φ^{-1}(u)；对对数正态，先取Φ^{-1}(u)再指数变换。
以第 1 行、第 1 维为例：P[1][1] = 3，u = (3-0.5)/5 = 0.5。若该维是 [10, 20] 的均匀参数，则 x = 10 + 10×0.5 = 15。若该维是 μ=100, σ=15 的正态参数，则 x = 100 + 15×Φ^{-1}(0.5) = 100。可见映射方式完全由该维的分布假设决定，排列矩阵本身与分布无关，这是 LHS 构造中“分层”与“分布”解耦的关键设计。
四、维度与规模控制：n 与 d 怎么定
样本矩阵的规模由两个数决定：样本数 n（行数）和维度数 d（列数）。d 通常由问题本身决定——有几个待扫描的输入参数就有几列，不能随意增减，但需要警惕“维度灾难”：当 d 较大时，即使 n 不小，样本在 d 维空间中也极其稀疏。经验上，若只关心一阶主效应，n 取 10d 到 20d 往往够用；若需要估计交互效应或做代理模型训练，n 应显著增大，常见做法是先跑 n = 10d 的筛选，再对敏感维度加密。
n 的选取还受两个工程约束影响。其一是可整除性：分层要求每个维度被切成 n 段，n 本身没有必须是 2 的幂之类的限制，但若后续要做交叉验证或分块并行，取便于分组的整数（如 20、50、100）更省事。其二是计算预算：每个样本点对应一次仿真或实验，n 直接等于运行次数，必须在精度与成本间折中。一个实用做法是先固定 d，用 n = 10d 起步，观察输出统计量的收敛情况，再决定是否加倍。
五、一个可复现的构造示例
下面用 Python 风格伪代码串起完整流程，参数为 n = 5, d = 3，三维分别为均匀 [10,20]、正态 μ=100, σ=15、均匀 [0,1]：
import numpy as np
n, d = 5, 3
P = np.column_stack([np.random.permutation(n) + 1 for _ in range(d)])
U = (P - 0.5) / n
X = np.empty((n, d))
X[:,0] = 10 + 10 * U[:,0] # 均匀 [10,20]
X[:,1] = 100 + 15 * norm_ppf(U[:,1]) # 正态
X[:,2] = U[:,2] # 均匀 [0,1]验证时只需检查两件事：每一列排序后是否恰好覆盖全部 n 个分层区间（即 U 的每列排序后等于 [0.1,0.3,0.5,0.7,0.9]），以及 X 的每列取值范围是否落在对应分布的支撑内。前者确认分层约束成立，后者确认映射没有写错。若把 U 的每列画成散点，应看到五个点均匀分布、无一区间空缺——这就是 LHS 区别于纯随机采样最直观的视觉特征。
最后需要强调：排列矩阵只保证边缘分层，不保证联合空间的最优填充。两个不同维度的置换可能偶然产生相近的配对，使样本在联合空间中局部聚集。若对空间填充性有更高要求，可在生成多个候选排列矩阵后，用最大最小距离等准则择优，这属于 LHS 的优化变体，其基础仍是本节这套“分层—置换—映射”的构造骨架。