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多项式混沌展开方法与计算

共计 30 章节
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01
课程导入与不确定性量化概览
多项式混沌展开（PCE）的定位 · 核心思想 · 典型工程与科学问题场景
课程导入不确定性量化概览
02
随机变量与随机过程基础
概率空间 · 随机变量 · 联合分布
随机变量随机过程基础
03
正交多项式与函数空间
内积 · 正交性 · 完备性
正交多项式函数空间
04
PCE的数学形式与系数含义
从随机变量到正交多项式基的展开 · 系数作为条件期望的投影解释 · 均值方差等统计矩的解析表达
PCE的数学形式
05
常见输入分布与对应正交基选择
正态- Hermite · 均匀-Legendre · 指数-Laguerre
常见输入分布对应正交基选择
06
多维PCE与张量积基构造
多变量正交多项式 · 张量积基 · 总阶截断与双曲截断
PCE多维
07
PCE系数的侵入式计算方法
Galerkin投影 · 随机Galerkin方法 · 耦合确定性与随机部分的方程推导
PCE系数的侵入式计算…
08
PCE系数的非侵入式投影方法
蒙特卡洛投影 · 拟蒙特卡洛投影 · 稀疏网格投影与数值积分精度分析
PCE系数的非侵入式投…
09
PCE系数的回归方法
最小二乘回归 · 稀疏回归（Lasso · 压缩感知）
PCE系数的回归方法
10
谱投影与离散投影误差分析
投影误差 · 混叠误差 · 积分规则精度对系数的影响
谱投影离散投影误差分析
11
PCE的收敛性与截断阶数选择
系数衰减 · 收敛率 · 截断阶数与基函数数量的权衡
PCE的收敛性
12
统计矩与灵敏度分析的PCE实现
均值 · 方差 · 协方差
PCE统计矩
13
PCE用于不确定性传播的完整流程
从输入不确定性建模 · PCE构造 · 系数计算到输出统计量提取
PCE用于不确定性传播…
14
PCE与模型降阶及代理模型
PCE作为代理模型的构建 · 预测误差评估 · 与Kriging
PCE模型降阶
15
动态系统与时间依赖PCE
随机常微分方程 · 随机偏微分方程的PCE展开 · 随机Galerkin与时变系数的处理
PCE动态系统
16
PCE在参数反演与贝叶斯推断中的应用
利用PCE加速后验采样 · 构建似然函数代理 · 贝叶斯反演流程与一个简单反演实战
PCE参数反演
17
PCE在可靠性分析与稀有事件估计中的应用
可靠性指标 · 失效概率的PCE表达 · 与子集模拟等方法的结合
PCE可靠性分析
18
PCE在优化与鲁棒设计中的应用
不确定性下的优化问题 · PCE代理用于目标与约束评估 · 鲁棒设计优化流程与实战
PCE优化
19
PCE在机器学习与数据驱动建模中的角色
特征构造 · 不确定性量化与机器学习模型的结合 · 物理信息PCE的初步探讨
PCE机器学习
20
PCE在流体力学与传热问题中的应用
随机输入下的流动与传热模拟 · PCE代理构建 · 统计分析与灵敏度分析实战
PCE流体力学
21
PCE在结构力学与材料中的应用
随机材料参数 · 几何不确定性下的结构响应分析 · PCE建模与可靠性评估案例
PCE结构力学
22
PCE在环境与气候模型中的应用
输入不确定性传播 · 参数敏感性排序 · PCE代理用于大规模模拟的加速与案例…
PCE环境
23
PCE在能源系统与电网分析中的应用
可再生能源出力不确定性 · 负荷波动 · PCE用于潮流计算与风险评估的实战
PCE能源系统
24
PCE在生物医学与生理系统建模中的应用
生理参数不确定性 · 药代动力学模型 · PCE用于个体化预测与敏感性分析
PCE生物医学
25
PCE在金融与精算风险量化中的应用
随机利率 · 资产价格模型 · PCE用于衍生品定价与风险度量的案例
PCE金融
26
PCE在控制与信号处理中的应用
随机系统控制 · 滤波器设计 · PCE用于不确定性传播与鲁棒控制的实…
PCE控制
27
PCE在数字孪生与实时预测中的应用
在线PCE更新 · 数据同化 · 数字孪生框架下的不确定性量化与实时决…
PCE数字孪生
28
PCE软件工具与实现
常用PCE库（如UQLab · Chaospy · Dakota）介绍
PCE软件工具
29
PCE的局限性与改进方向
高维问题 · 非光滑响应 · 强非线性
PCE的局限性
30
综合项目
面向一个真实工程或科学问题 · 完成从不确定性建模 · PCE构造
综合项目面向一个真实工程…