3. 失效概率计算基础

要计算可靠度与失效概率，先要把“失效”这件工程事件翻译成概率论语言。本节从随机变量、分布函数与概率密度三个基本概念出发，建立失效事件的集合表达，最终给出可靠度 R(t) 与失效概率 F(t) 的数学定义及其相互关系。这是后续所有寿命分布计算（指数、威布尔、对数正态等）的共同地基。

一、随机变量：把寿命变成可运算的数

产品从开始工作到首次失效所经历的时间称为寿命，记作 T。由于同一批产品中每个个体的失效时刻并不相同，T 是一个随机变量：它的取值落在某个区间内，但具体取何值事先无法确定。工程上通常约定 T ≥ 0，单位为小时、循环次数或里程等，本课程统一以小时（h）为时间单位，且时间轴自 t = 0 起算。

随机变量分两类：离散型（如某批次中失效产品的台数）与连续型（如失效时间）。寿命数据绝大多数按连续型处理，因此本节重点讨论连续型随机变量。需要强调的是，随机变量不是“未知的常数”，而是带有概率规律的变量，其规律由分布函数完整描述。

二、分布函数与概率密度

累积分布函数（CDF）定义为 F(t) = P(T ≤ t)，即寿命不超过 t 的概率。它有三个必须记住的性质：F(t) 单调不减；F(0) = 0（假设产品在 t = 0 时刻是好的）；当 t → ∞ 时 F(t) → 1。对连续型随机变量，F(t) 是连续函数。

概率密度函数（PDF）记作 f(t)，是分布函数的导数：f(t) = dF(t)/dt。反过来，F(t) 是密度曲线下从 0 到 t 的面积：

F(t) = ∫₀ᵗ f(u) du
P(a < T ≤ b) = F(b) − F(a) = ∫ₐᵇ f(u) du

这里有一个初学者常犯的错误：f(t) 本身不是概率，f(t) 可以大于 1；只有密度乘以区间长度 f(t)·Δt 才近似等于落在该小区间内的概率。因此读图时应把“密度曲线下的面积”理解为概率，而不是把“曲线高度”当作概率。

以指数分布为例，若失效率 λ = 0.001 /h，则 f(t) = λe^(−λt)，F(t) = 1 − e^(−λt)。在 t = 1000 h 处，F(1000) = 1 − e^(−1) ≈ 0.6321，即约 63.21% 的产品会在 1000 h 内失效。这个数值是示例参数下的计算结果，用于说明算法，不代表任何具体产品的实测水平。

三、失效事件的集合建模

把“产品在时刻 t 之前失效”记作事件 {T ≤ t}，其概率就是 F(t)。与之互补的事件是“产品在时刻 t 时仍然正常工作”，即 {T > t}。两个事件互斥且完备，因此二者概率之和恒为 1。这一互补关系是可靠度与失效概率之间全部换算的来源。

工程中还有几个常用的事件表达需要区分清楚：

• 到 t 时刻的失效概率：F(t) = P(T ≤ t)，是累积量，随时间单调增大。
• t 时刻的存活概率：R(t) = P(T > t) = 1 − F(t)，随时间单调减小。
• 区间失效概率：P(t₁ < T ≤ t₂) = F(t₂) − F(t₁)，用于回答“已经工作到 t₁ 的产品，在下一段区间内失效的可能性有多大”。
• 条件失效概率：P(T ≤ t₂ | T > t₁) = [F(t₂) − F(t₁)] / R(t₁)，这是维修决策与预防性更换策略的核心量。

注意区间概率与条件概率的区别：前者以 t = 0 时刻的全体产品为基数，后者只以存活到 t₁ 的产品为基数，分母不同，数值差别可能很大。

四、可靠度与失效概率的数学表达

设寿命 T 的分布函数为 F(t)，则：

失效概率  F(t) = P(T ≤ t) = ∫₀ᵗ f(u) du
可靠度    R(t) = P(T > t) = 1 − F(t) = ∫ₜ^∞ f(u) du
密度关系  f(t) = −dR(t)/dt

最后一式说明：可靠度曲线的下降速率就是概率密度。R(t) 下降越快，说明该时段内失效越集中。由此还可引出失效率 λ(t) = f(t)/R(t)，它表示“存活到 t 的产品在下一瞬间失效的条件速率”，是可靠性工程中区分早期失效、偶然失效与耗损失效三个阶段的判据，将在后续章节展开。

五、一个完整的计算示例

假设某电子组件的寿命服从参数 λ = 0.0005 /h 的指数分布（示例假设）。求：(1) 工作 2000 h 的可靠度；(2) 在第 1000 h 到第 3000 h 之间失效的概率；(3) 已知已正常工作 1000 h，再工作 2000 h 的可靠度。

(1) R(2000) = e^(−0.0005×2000) = e^(−1) ≈ 0.3679
(2) P(1000 < T ≤ 3000) = F(3000) − F(1000)
    = (1 − e^(−1.5)) − (1 − e^(−0.5))
    = e^(−0.5) − e^(−1.5) ≈ 0.6065 − 0.2231 = 0.3834
(3) P(T > 3000 | T > 1000) = R(3000)/R(1000)
    = e^(−1.5)/e^(−0.5) = e^(−1) ≈ 0.3679

第 (3) 问的结果与第 (1) 问完全相同，这正是指数分布“无记忆性”的体现：已经工作的时间不影响后续的失效规律。这一性质只对指数分布成立，对威布尔分布（形状参数 ≠ 1）则不成立，届时条件可靠度必须按 R(t₂)/R(t₁) 老老实实计算。判断结果是否合理时，可检查两点：可靠度应落在 0 到 1 之间且随 t 增大而减小；区间概率应等于两个累积概率之差，且不超过 1。

上图把三个核心对象放在同一视野中：左侧密度曲线下的面积对应累积概率，中间 F(t) 与 R(t) 两条曲线在任意时刻高度互补，右侧则把四类常用事件及其公式并列，便于在解题时快速定位该用哪一个表达式。实际计算时，只要确认题目问的是“累积”“区间”还是“条件”，再对应选取公式，就不会出现分母用错的问题。