2. 不确定性建模基础
在代理模型加速不确定性传播的框架中，不确定性建模是整个流程的“输入定义”环节。如果输入的不确定性描述本身不准确，后续无论用多么高精度的代理模型，输出的统计结果都会失真。本节围绕四个相互衔接的问题展开：用什么数学对象描述不确定性、如何为它选择概率分布、如何处理变量之间的相关性、以及如何把“参数本身不确定”这一层也纳入模型。
一、随机变量与随机场的表示
当不确定性对象是一个标量或有限维向量时，用随机变量（或随机向量）描述即可。例如某材料的弹性模量 E 可写成 E = μ_E + σ_E · ξ，其中 ξ 是标准随机变量，μ_E、σ_E 为均值与标准差。这种“均值 + 标准差 × 标准变量”的写法把物理量纲与随机性分离，便于后续抽样和灵敏度分析。
当不确定性对象随空间或时间连续变化时，例如非均质土体的渗透系数 k(x)、沿梁长度变化的截面刚度、或随时间波动的风压，就必须用随机场描述。随机场的核心是两点之间的空间相关性：相距越近的点，取值越相似。工程上最常用的是平稳高斯随机场，由均值、方差和自相关函数（或功率谱密度）完全确定。常用的自相关函数包括指数型 ρ(τ)=exp(−|τ|/ℓ) 和高斯型 ρ(τ)=exp(−(τ/ℓ)²)，其中 ℓ 为相关长度，它决定了随机场“起伏”的空间尺度。
随机场在数值实现上必须离散化。常用方法有三类：中点法（在每个单元中心取一个随机变量，简单但需要大量变量）、KL 展开（Karhunen–Loève，用特征值截断，保留前 M 阶即可捕获大部分方差，变量数少、精度可控）、以及局部平均法。实际建模时通常先估计相关长度，再用 KL 展开截断到累计方差贡献 90%～95%，把连续随机场转化为 M 个独立标准正态变量，从而与代理模型的输入维度对接。
二、概率分布的选择依据
分布选择不能凭“看起来像”，而应结合物理约束、数据特征和尾部行为三方面判断。工程上常见的对应关系是：
- 正态分布：适用于取值可正可负、波动近似对称的量，如测量误差、弹性模量（变异系数较小时）。缺点是支撑集为全体实数，若用于严格非负量需截断。
- 对数正态分布：适用于严格为正且右偏的量，如材料强度、渗透系数、疲劳寿命。其对数服从正态，参数可由均值与变异系数换算：
σ_ln = sqrt(ln(1+CV²))，μ_ln = ln(μ) − σ_ln²/2。 - 威布尔分布：适用于强度、寿命类“最弱环节”型失效数据，形状参数
k控制尾部，k<1表示早期失效，k>1表示磨损型失效。 - 均匀分布：仅适用于已知上下界、内部无信息的情形，如制造公差带。
当样本量足够（一般不少于 30～50 个）时，应先做拟合优度检验（K–S 检验、A–D 检验）再定分布；样本稀少时，优先依据物理机理与行业规范选取，并用变异系数而非分布形状来约束不确定性幅度。这一步的常见错误是把有界量硬套正态分布，导致抽样出现负的强度或负的渗透系数，使后续仿真直接报错或产生无意义结果。
三、相关性建模
实际工程变量之间往往不独立：材料弹性模量与泊松比常呈弱负相关，板厚与屈服强度可能因同一批次工艺而正相关，同一随机场不同位置的取值更是天然相关。忽略相关性会低估输出的方差，因为独立假设相当于让各变量“互相抵消”，而正相关会让偏差同向叠加。
最直接的做法是构造相关系数矩阵 R，并保证其对称正定。抽样时对 R 做 Cholesky 分解 R = L Lᵀ，先生成独立标准正态向量 z，再令 u = L z，即得到具有目标相关性的标准正态样本；随后按各变量的边缘分布做等概率变换（Nataf 变换）即可。若变量间存在非线性依赖或尾部相关，可改用 Copula 函数（如 Gaussian Copula、Gumbel Copula）分别刻画边缘分布与依赖结构。
需要提醒的是，相关系数矩阵的估计本身也有不确定性。当样本量不足时，建议对相关系数做区间估计或采用保守取值，并在灵敏度分析中把相关系数作为额外的考察因素。
四、参数不确定性量化方法
“参数不确定性”指的是分布参数（均值、标准差、相关长度等）本身也未被精确已知的情形，它与“变量不确定性”是两个层次。常用的量化方法有三类：
- 频率统计法：用最大似然估计给出参数点估计与置信区间，适合有较多实测数据的场景。例如由 20 组土样试验估计渗透系数均值与标准差，并给出 95% 置信区间。
- 贝叶斯方法：把参数视为随机变量，先设先验分布，再用观测数据更新得到后验分布。它天然适合小样本与专家经验并存的工程问题，后验样本可直接送入代理模型做传播。
- 区间/凸集方法：当只能给出参数上下界而无分布信息时，用区间或椭球凸集描述，输出为响应区间而非概率分布，适合安全保守评估。
一个可操作的示例流程是：对某结构的三项输入——弹性模量 E（对数正态，均值 210 GPa，CV=0.08）、板厚 t（正态，均值 12 mm，标准差 0.3 mm）、外载 P（威布尔，k=2.2，尺度 50 kN）——先按上述规则确定边缘分布，再设定 E 与 t 的相关系数为 −0.2，经 Cholesky 分解生成 1000 组相关样本，最后把样本矩阵作为代理模型的输入。判断建模是否合理的依据包括：抽样后各变量的均值与标准差是否与设定值吻合（相对误差宜小于 5%）、相关矩阵是否复现、以及是否出现物理上不可能的取值。只有这一步通过，后续的代理模型训练与不确定性传播才有意义。