📚 课程目录第3章拉丁超立方抽样与简单随机抽样的对比

3. 拉丁超立方抽样与简单随机抽样的对比

问题设定与可复现实验框架

本节选用一个三输入的非线性工程响应模型作为对比对象，使两种抽样方法在同一输入分布下接受完全相同的统计任务。模型取

Y = 2.0 + 1.5·X1 + 0.8·X2² + 1.2·X3·X1 + 0.5·sin(2π·X3)

三个输入相互独立且均服从标准均匀分布：X1, X2, X3 ~ U(0, 1)。该模型含平方项与乘积交互项，输出分布明显右偏，因此均值、方差与高分位数对抽样覆盖质量都比较敏感，适合放大简单随机抽样（SRS）与拉丁超立方抽样（LHS）的差异。

对比指标固定为三项：输出均值估计、输出方差估计、输出 95% 分位数估计。对每个样本量 N，重复 R 次独立抽样，用各次估计值的样本方差衡量估计量本身的波动，用相对误差衡量收敛程度。参照值由大样本蒙特卡洛（N=2×10⁶）给出，仅作为示例基准。

LHS 的关键约束是分层：每个输入维度的 [0,1] 区间被等分为 N 层，每层恰好落入一个样本点，且各维度的层内顺序独立随机置换。这保证了每个输入的一维边缘分布被均匀覆盖，但不保证多维联合空间均匀覆盖，这一点在维度升高时会逐渐显现。

两种抽样方法的实现

下面给出可直接运行的 Python 实现，包含 SRS、LHS、模型求值、重复实验与统计汇总。LHS 采用“分层 + 独立置换”的标准构造，不引入额外优化。

import numpy as np

def model(X):
    x1, x2, x3 = X[:, 0], X[:, 1], X[:, 2]
    return 2.0 + 1.5*x1 + 0.8*x2**2 + 1.2*x3*x1 + 0.5*np.sin(2*np.pi*x3)

def sample_srs(n, d, rng):
    return rng.random((n, d))

def sample_lhs(n, d, rng):
    # 每维等分 n 层，层内均匀取点，再对每维独立置换层序
    cut = np.arange(n) / n
    u = cut[:, None] + rng.random((n, d)) / n
    for j in range(d):
        rng.shuffle(u[:, j])
    return u

def run_once(n, d, method, rng):
    X = sample_srs(n, d, rng) if method == "SRS" else sample_lhs(n, d, rng)
    y = model(X)
    return np.mean(y), np.var(y, ddof=1), np.quantile(y, 0.95)

def repeat_experiment(n, d, method, R, seed=2024):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    stats = np.array([run_once(n, d, method, rng) for _ in range(R)])
    return stats  # 列：均值、方差、q95

# 参照值（示例基准，大样本 MC）
rng_ref = np.random.default_rng(7)
y_ref = model(rng_ref.random((2_000_000, 3)))
ref = np.array([y_ref.mean(), y_ref.var(ddof=1), np.quantile(y_ref, 0.95)])
print("参照值 均值/方差/q95:", ref)

实验设计取 N ∈ {16, 32, 64, 128, 256, 512}，每个 N 重复 R = 200 次，两种方法使用相同随机种子序列以保证可比性。对每个 N 与每种方法，计算三项估计量的重复标准差（即估计方差的开方）与相对偏差。

结果结构与判读逻辑

下图给出该实验的核心结构：同一输入分布分别进入两条抽样通道，经同一模型映射后得到输出样本，再汇总为三项统计量，最终以“重复标准差随 N 的下降速度”作为对比判据。图中同时标出 LHS 相对 SRS 在低样本量区间的典型优势来源——一维分层覆盖。

示例结果与收敛判读

下表为按上述设置运行得到的示例结果（教学示例数据，非实测）。表中数值为各统计量在 R=200 次重复下的估计标准差，括号内为相对参照值的偏差百分比。

N	SRS 均值标准差	LHS 均值标准差	SRS 方差标准差	LHS 方差标准差	SRS q95 标准差	LHS q95 标准差
16	0.118	0.041	0.152	0.058	0.196	0.072
32	0.083	0.026	0.109	0.037	0.141	0.047
64	0.059	0.018	0.077	0.025	0.101	0.032
128	0.042	0.013	0.055	0.018	0.072	0.023
256	0.030	0.009	0.039	0.013	0.051	0.016
512	0.021	0.006	0.028	0.009	0.036	0.011

判读要点有三条。第一，两种方法的估计标准差都随 N 增大而下降，SRS 大致按 N^-1/2 收敛，LHS 在本例低维、加性主导的模型上下降更快，同 N 下方差比约为 3～8 倍，等价于用更少样本达到相同精度。第二，LHS 的优势在 N 较小时最明显，因为分层对一维边缘的覆盖收益在样本稀疏时最突出；N 增大后两者差距的相对幅度收窄。第三，方差与 q95 的估计波动普遍大于均值，说明高阶统计量对抽样覆盖更敏感，实际工程中若关注尾部或分位数，应优先考虑 LHS 并适当增加重复次数。

LHS 的分层只保证一维边缘覆盖，不保证多维联合空间均匀。当输入维度升高、模型以交互项为主时，LHS 相对 SRS 的方差缩减会明显减弱，甚至在某些统计量上不再占优。此时应改用正交拉丁超立方或结合低差异序列，而不是无条件依赖 LHS。

可复用的对比实验检查清单

两种方法必须使用同一输入分布、同一模型、同一统计量与同一重复次数，随机种子序列分开管理但实验条件对齐。
参照值用远大于实验样本量的蒙特卡洛给出，并记录其自身的不确定度，避免把参照误差误判为方法差异。
报告估计标准差而非单次估计值，单次结果无法区分方法优劣与随机波动。
至少覆盖三个数量级的 N，才能看出收敛斜率；只比较单一 N 容易得出片面结论。
对均值、方差、分位数分别判断，不同统计量的方差缩减比可能相差数倍。
记录维度 d 与模型结构特征，LHS 的收益与这两者强相关，结论不可跨场景直接套用。