3. 蒙特卡洛传播分析的核心思想与基本流程

不确定性传播要回答的问题可以概括为一句话：当输入量带有不确定性时，输出量的分布是什么样。解析方法（如线性误差传播、一阶二阶矩法）通过泰勒展开把输入方差映射为输出方差，速度快但依赖近似；蒙特卡洛方法则换了一条路——不推导输出分布的解析表达式，而是用大量随机样本"模拟"输入的不确定性，再让模型自己把不确定性传递到输出端，最后用样本统计量逼近输出分布。它的代价是计算量，换来的是对非线性、强耦合、非正态输入的普遍适用性。

抽样映射：从输入分布到输出样本

设模型为 Y = g(X₁, X₂, …, X_n)，其中每个输入 X_i 都用一个概率分布描述其不确定性（正态、均匀、对数正态、经验分布等），并考虑输入之间的相关性。蒙特卡洛传播的执行逻辑是：从联合分布中抽取一组输入样本 x^(k)，代入模型得到一次输出实现 y^(k) = g(x^(k))，重复 N 次，得到输出样本集 {y⁽¹⁾, …, y^(N)}。这个样本集就是输出分布的"经验替身"：它的直方图近似输出概率密度，它的分位数近似输出分位数，它的均值与标准差近似输出的期望与不确定度。关键在于，映射过程只用到模型本身，不需要对 g 做任何线性化或正态性假设，非线性、阈值、饱和等效应会原样体现在输出样本的形态里。

大数定律与中心极限定理的支撑作用

为什么"用样本统计量代替真实分布"是合理的？大数定律给出了第一层保证：当 N → ∞ 时，样本均值依概率收敛到真实期望，样本分位数收敛到真实分位数。也就是说，只要样本量足够，直方图会稳定地逼近真实输出密度，蒙特卡洛估计是相合估计。中心极限定理给出第二层保证：样本均值本身近似服从正态分布，其标准误为 σ/√N。这直接决定了收敛速度——误差按 1/√N 衰减，样本量增大 100 倍，标准误才缩小 10 倍。实践中这意味着：把输出均值的不确定度从 1% 压到 0.1%，需要约一万倍的样本量，因此必须结合精度目标反推 N，而不是盲目堆样本。同时，中心极限定理也提示我们：当 N 较小时，样本均值本身的波动不可忽略，报告结果时应同时给出标准误或置信区间。

误差与收敛性：怎么判断"算够了"

蒙特卡洛结果有两类误差需要区分。统计误差来自有限样本，表现为估计量的随机波动，可用标准误 s/√N 或分位数的自助法置信区间量化；模型误差来自输入分布设定是否准确、模型本身是否可信，这部分不会因增大 N 而减小。收敛性判断的实用做法是：把 N 分成若干批（如 10 批），分别计算每批的输出均值与目标分位数，观察批间波动是否随 N 增大而收窄；或绘制均值随 N 变化的运行曲线，当曲线进入稳定带且带宽小于允许误差时停止。对于尾部概率（如失效概率 P_f 很小），普通蒙特卡洛的相对误差约为 1/√(N·P_f)，需要 N ≫ 1/P_f 才能获得稳定估计，此时应考虑重要性抽样等方差缩减技术。

算法伪代码

输入：模型 g(·)，输入分布 F₁…Fₙ 及相关结构，样本量 N，随机种子 seed
输出：输出样本 {y⁽ᵏ⁾}，统计量（均值、标准差、分位数、超限概率）

1  set.seed(seed)                      # 保证可复现
2  for k = 1 to N:
3      u ← 生成 n 维独立均匀随机数
4      x⁽ᵏ⁾ ← 逆变换/条件抽样，得到符合联合分布的输入样本
5      y⁽ᵏ⁾ ← g(x⁽ᵏ⁾)                  # 逐样本映射
6  end for
7  ŷ ← mean(y)；s ← sd(y)
8  q ← quantile(y, c(0.05, 0.5, 0.95))
9  Pf ← mean(y > Y₀)                   # 超限概率
10 计算标准误 se ← s / sqrt(N)，输出结果与收敛诊断

简单手算示例

设模型为 Y = X₁ · X₂，其中 X₁ ~ U(1, 3)，X₂ ~ U(2, 4)，相互独立。取 N = 4 组样本演示映射过程（示例数据，仅用于说明算法，不代表收敛结果）：

由这 4 个样本得 ŷ = 6.51，s ≈ 3.55，标准误约 1.78。样本太少，这个结果只能说明计算流程，不能作为结论。若把 N 增至 10⁴，输出均值会稳定在理论值 E[X₁]·E[X₂] = 2 × 3 = 6 附近，标准误降至约 0.036，此时报告"输出均值约 6.0，95% 区间约 [3.2, 9.0]"才有工程意义。这个对比恰好说明：蒙特卡洛的可信度来自样本量与收敛诊断，而不是单次计算结果本身。