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科学机器学习项目实战45例

共计 45 章节

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案例1：物理约束神经网络求解一维稳态热传导

用PINN实现一维杆稳态热传导方程 · 在Dirichlet边界下训练并验证… · 重点掌握物理残差损失与边界损失的加权…

案例1物理约束神经网络…

案例2：数据驱动代理模型拟合阻尼摆轨迹

构建多层感知机从阻尼摆仿真轨迹数据中… · 对比不同网络深度与训练样本量对多步预…

案例2数据驱动代理模型…

案例3：PINN求解一维Burgers方程并分析激波捕捉

针对含粘性项的Burgers方程训练… · 观察不同粘性系数下解的陡峭梯度区域误… · 评估配点采样策略对激波附近精度的影响

案例4：神经算子学习一维扩散方程解算子

用DeepONet学习从初始条件到固… · 在训练分布外初始条件上测试泛化误差 · 重点比较分支网与主干网容量配置

案例4神经算子学习一维…

案例5：Fourier神经算子求解参数化Darcy流

实现FNO学习渗透率场到压力场的映射 · 分析截断模态数对高频渗透率结构重建精… · 并验证分辨率不变性

案例6：物理信息损失用于弹簧-质量系统参数反演

在仅有部分位移观测的条件下 · 用PINN同时反演未知刚度和阻尼系数 · 重点设计可辨识性检验与多初值训练稳定…

案例6物理信息损失用于…

案例7：数据同化中的神经网络观测算子校正

构建神经网络校正简化观测模型与真实观… · 将其嵌入集合卡尔曼滤波流程 · 评估校正前后状态估计的均方根误差

案例7数据同化

案例8：降阶模型POD与神经网络系数回归对比

对参数化热传导仿真数据做POD降阶 · 分别用线性回归和神经网络预测模态系数 · 对比两种系数映射在测试参数上的重构误…

案例9：自编码器用于流场降阶与潜空间插值

训练卷积自编码器压缩二维流场快照 · 在潜空间对雷诺数做插值并解码 · 评估重构场与真实仿真场在涡结构上的差…

案例9自编码器用于流场…

案例10：时间序列神经ODE拟合阻尼振动

用神经ODE建模阻尼振动系统的连续时… · 对比固定步长与自适应步长求解器对长期…

案例11：物理约束损失下的单摆周期预测网络

训练网络从初始角度预测单摆周期 · 在损失中加入能量守恒约束 · 对比纯数据拟合与物理约束模型在大角度…

案例11物理约束损失下的…

案例12：PINN求解二维稳态Poisson方程

在矩形域上实现二维Poisson方程… · 重点比较均匀配点与基于残差自适应加密…

案例13：硬约束输出层构造满足边界条件的解

通过输出变换将边界条件硬编码进网络结… · 与软约束PINN对比边界附近精度和训… · 分析硬约束构造的适用条件

案例13硬约束输出层构造…

案例14：多尺度Fourier特征提升高频解拟合

在PINN输入中引入多尺度Fouri… · 针对高频强迫项的一维波动方程 · 比较不同频率尺度组合对收敛精度的影响

Fourier案例14

案例15：因果训练策略改善长时间积分PINN

对时间依赖问题采用因果加权训练策略 · 按时间分块逐步推进损失权重 · 对比普通全时段训练在后期时间窗口的误…

案例16：算子学习中的多分辨率训练与零样本超分辨

训练FNO在低分辨率数据上学习解算子 · 测试其直接在高分辨率网格上推理的零样… · 分析频谱混叠导致的误差来源

案例16算子学习

案例17：图神经网络求解非结构网格上的稳态扩散

将非结构三角网格转化为图结构 · 用图神经网络学习节点温度 · 重点设计边特征编码网格几何并验证不同…

案例17图神经网络求解非…

案例18：神经算子用于参数化翼型压力场预测

用DeepONet从翼型几何参数预测… · 重点处理几何参数化输入与输出场维度不… · 并评估气动系数积分误差

案例18神经算子用于参数…

案例19：物理信息神经网络求解一维Allen-Cahn方程

针对含界面演化的一维Allen-Ca… · 观察不同界面厚度参数下相界面的锐度保…

Allen-Cahn案例19

案例20：数据驱动湍流闭合模型的一维后验评估

用神经网络从高保真数据学习雷诺应力闭… · 嵌入一维湍流方程做后验仿真 · 重点评估训练损失与后验预测精度不一致…

案例20数据驱动湍流闭合…

案例21：守恒律神经网络预测中的守恒性诊断

训练网络预测一维守恒律通量 · 设计质量守恒与总变差不增的诊断指标 · 定位网络在间断附近违反守恒性的具体模…

案例21守恒律神经网络预…

案例22：物理信息网络中的自适应损失权重调优

实现基于梯度范数的自适应损失权重策略 · 在多项物理残差与数据损失共存的问题中…

案例22物理信息网络

案例23：小样本条件下迁移学习加速PINN收敛

先在相似参数问题上预训练PINN · 再迁移到目标参数问题微调 · 对比从零训练与迁移训练达到同等精度所…

案例24：噪声观测下的物理信息反演鲁棒性测试

在观测数据中加入不同水平高斯噪声 · 测试PINN反演扩散系数的稳定性 · 绘制噪声水平与反演相对误差的关系曲线…

案例24噪声观测下的物理…

案例25：神经算子与数值求解器的混合时间推进

将训练好的神经算子作为粗时间步推进器 · 与精细数值求解器交替耦合 · 评估混合推进在长期积分中的误差增长与…

案例25神经算子

案例26：物理信息网络求解二维不可压Navier-Stokes

实现二维定常不可压Navier-St… · 重点处理压力-速度耦合与连续性残差权… · 在顶盖驱动方腔算例上验证流场精度

Navier-Stoke…案例26

案例27：算子学习中的边界条件嵌入方式对比

在FNO中分别采用边界填充 · 损失惩罚和输出修正三种边界处理方式 · 对比其在非周期边界问题上的精度与训练…

案例27算子学习

案例28：基于物理信息的稀疏传感器场重建

利用少量传感器观测和物理方程约束重建… · 重点设计传感器布点策略并评估不同布点…

案例28基于物理信息的稀…

案例29：神经ODE用于化学反应动力学参数估计

用神经ODE建模反应浓度演化并联合估… · 重点分析观测采样间隔对参数可辨识性和…

案例30：物理信息网络预测相变问题的Stefan条件

对一维相变传热问题训练PINN · 在损失中显式加入界面Stefan能量… · 评估界面位置预测误差随时间的变化

案例31：算子学习模型的不确定性量化

用深度集成方法为FNO预测提供不确定… · 在分布外输入上检验预测方差与真实误差… · 识别高不确定性区域

案例31算子学习模型的不…

案例32：物理信息网络的多保真数据融合

融合少量高保真仿真与大量低保真仿真数… · 对比仅用高保真数据训练时的精度 · 分析多保真加权策略的效果

案例32物理信息网络的多…

案例33：神经算子跨几何泛化能力测试

在规则域上训练FNO后迁移到含孔洞的… · 设计几何编码适配方案并量化跨几何泛化…

案例33神经算子跨几何泛…

案例34：物理信息网络求解特征值问题

用PINN求解一维Sturm-Lio… · 将特征值作为可训练参数 · 重点处理特征函数归一化约束与特征值收…

案例34物理信息网络求解…

案例35：数据驱动模型在闭环控制中的稳定性验证

将训练好的系统代理模型嵌入简单反馈控… · 通过闭环仿真检验代理模型误差对控制稳… · 定位导致失稳的模型偏差模式

案例35数据驱动模型

案例36：物理信息网络训练中的梯度病理诊断

在PINN训练中监测各损失项梯度范数… · 定位梯度不平衡或病态区域 · 并验证梯度裁剪与归一化对训练的改善

案例36物理信息网络训练

案例37：算子学习用于多步预测的误差累积分析

用自回归方式将神经算子用于多步时间预… · 分解单步误差与累积误差的贡献 · 评估不同滚动预测策略对长期精度的影响

案例37算子学习用于多步…

案例38：物理信息网络对间断初值的处理策略对比

针对含阶跃初值的一维对流方程 · 对比平滑化初值 · 域分解和自适应配点三种策略下PINN…

案例38物理信息网络对间…

案例39：基于物理信息的缺失边界条件补全

在部分边界条件未知的情况下 · 利用内部观测和方程残差同时补全边界条… · 重点评估未知边界段长度对反演精度的影…

案例39基于物理信息的缺…

案例40：神经算子模型的推理性能与精度权衡

对训练好的FNO进行推理加速分析 · 比较不同模态截断与批处理配置下的推理… · 给出面向部署的配置选择依据

案例40神经算子模型的推…

案例41：物理信息网络求解对流占优问题的稳定化

针对高Péclet数对流扩散方程训练… · 引入人工粘性或残差加权稳定化 · 对比稳定化前后解在边界层区域的非物理…

案例41物理信息网络求解…

案例42：多物理场耦合问题的分块物理信息训练

对热-力耦合一维问题采用分块训练策略… · 对比联合训练在耦合界面通量连续性上的…

案例42多物理场耦合问题…

案例43：数据驱动代理模型的分布偏移检测

为已训练的流场代理模型设计输入分布偏… · 在参数超出训练范围时触发告警 · 评估检测指标与预测误差的相关性

案例43数据驱动代理模型…

案例44：物理信息网络与经典数值格式的精度交叉验证

在同一基准问题上分别用PINN和有限… · 设计网格收敛与训练收敛的交叉验证流程 · 量化两种方法在相同计算预算下的精度差…

案例44物理信息网络

案例45：端到端科学机器学习项目：从仿真数据到在线代理部署

综合运用数据生成 · 代理模型训练 · 不确定性评估与推理接口封装

案例45端到端科学机器学…