3. 案例3：PINN求解一维Burgers方程并分析激波捕捉

问题设定与方程无量纲化

一维含粘性 Burgers 方程是检验 PINN 激波捕捉能力的经典基准：

u_t + u·u_x = ν·u_xx,   x ∈ [-1, 1],  t ∈ [0, 1]
u(x, 0) = -sin(πx)
u(-1, t) = u(1, t) = 0

粘性系数 ν 控制陡峭程度：ν 越小，t≈0.5 附近梯度越陡，趋近于激波；ν 越大，解越平滑。本例取 ν = 0.01/π ≈ 0.00318 与 ν = 0.1/π ≈ 0.0318 两组做对照，前者是 PINN 文献中的标准算例，后者用于观察平滑化后的误差分布差异。

PINN 的损失由三部分组成：物理残差损失 L_r（在配点上计算 PDE 残差）、初值损失 L_0、边界损失 L_b。关键难点在于：均匀随机配点在激波附近密度不足，残差难以被压低，因此需要引入基于残差的自适应配点或在陡峭区加密的采样策略。

网络结构与训练实现

采用 4 层隐藏层、每层 64 个神经元的 tanh MLP，输入 (x, t) 归一化到 [-1, 1]，输出 u。使用一阶自动微分计算 u_t、u_x，二阶自动微分计算 u_xx。优化分两阶段：先用 Adam（学习率 1e-3，10000 步）粗收敛，再用 L-BFGS 精调。

import torch
import torch.nn as nn

class PINN(nn.Module):
    def __init__(self, width=64, depth=4):
        super().__init__()
        layers = [nn.Linear(2, width), nn.Tanh()]
        for _ in range(depth - 1):
            layers += [nn.Linear(width, width), nn.Tanh()]
        layers += [nn.Linear(width, 1)]
        self.net = nn.Sequential(*layers)

    def forward(self, x, t):
        return self.net(torch.cat([x, t], dim=1))

def pde_residual(model, x, t, nu):
    x.requires_grad_(True); t.requires_grad_(True)
    u = model(x, t)
    u_t = torch.autograd.grad(u, t, torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    u_x = torch.autograd.grad(u, x, torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    u_xx = torch.autograd.grad(u_x, x, torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0]
    return u_t + u * u_x - nu * u_xx

def sample_uniform(n, device):
    x = torch.rand(n, 1, device=device) * 2 - 1
    t = torch.rand(n, 1, device=device)
    return x, t

def sample_shock_refined(n, device, x_c=0.0, sigma=0.15):
    # 在 x≈0 的陡峭区按高斯密度加密，其余均匀
    n_shock = n // 2
    x_s = torch.randn(n_shock, 1, device=device) * sigma + x_c
    x_s = x_s.clamp(-1, 1)
    x_u, t_u = sample_uniform(n - n_shock, device)
    x = torch.cat([x_s, x_u], dim=0)
    t = torch.cat([torch.rand(n_shock, 1, device=device), t_u], dim=0)
    return x, t

训练循环中，物理损失用均方残差，初值与边界损失用 MSE。下面给出单步损失计算的核心片段：

def total_loss(model, nu, n_col, n_ic, n_bc, device, refined=False):
    if refined:
        xc, tc = sample_shock_refined(n_col, device)
    else:
        xc, tc = sample_uniform(n_col, device)
    r = pde_residual(model, xc, tc, nu)
    loss_r = (r ** 2).mean()

    x_ic = torch.rand(n_ic, 1, device=device) * 2 - 1
    t_ic = torch.zeros_like(x_ic)
    u_ic = -torch.sin(torch.pi * x_ic)
    loss_0 = ((model(x_ic, t_ic) - u_ic) ** 2).mean()

    t_bc = torch.rand(n_bc, 1, device=device)
    xL = -torch.ones_like(t_bc); xR = torch.ones_like(t_bc)
    loss_b = ((model(xL, t_bc)) ** 2).mean() + ((model(xR, t_bc)) ** 2).mean()

    return loss_r + 100 * loss_0 + 100 * loss_b

初值与边界损失权重取 100，是因为它们的量级远小于残差项，需要放大才能有效约束。若权重过小，网络会优先压低残差而忽略边界，导致解在边界附近漂移。

激波区误差分布与配点策略对比

训练完成后，在规则网格（x 方向 256 点、t 方向 100 点）上评估预测解，并与高分辨率数值解（如 Chebfun 或有限差分细网格）对比。重点观察 t ∈ [0.4, 0.7]、x ∈ [-0.3, 0.3] 的陡峭梯度区域。下图展示了两种配点策略下误差在空间上的分布差异：

从图中可以读出两个关键结论：其一，误差峰值位置与解的陡峭区高度重合，说明 PINN 的困难不在于全局拟合，而在于局部高频结构的捕捉；其二，加密配点能显著压低峰值误差，但若加密范围过窄，平滑区可能因配点减少而精度下降，因此需要平衡。

粘性系数对误差分布的影响

固定配点策略（均匀 10000 点 + 激波区加密 5000 点），分别训练 ν = 0.01/π 与 ν = 0.1/π 两组模型，在相同测试网格上统计误差。下表给出示例性的相对 L2 误差与激波区最大误差（数值为教学示例，实际结果随随机种子与训练步数波动）：

规律很清晰：ν 越小，解的梯度越陡，均匀配点的误差越大，加密带来的收益也越明显；ν 增大后解本身更平滑，两种策略的差距收窄。这说明配点策略的选择应与问题的陡峭程度匹配，而不是一味加密。

实操要点与验证方法

• 残差监控：训练过程中分别记录 L_r、L_0、L_b，若 L_b 长期不降，说明边界权重偏小或网络容量不足。
• 自适应加密：可在训练若干步后，按残差大小对配点做重采样（RAD 类方法），把新配点集中到残差高的区域，比固定高斯加密更通用。
• 验证基准：用有限差分细网格或 Chebfun 生成参考解，在 t=0.5 的剖面上对比预测曲线，重点看激波位置与幅值是否偏移。
• 随机性控制：固定随机种子，至少跑 3 次取均值，避免单次训练结果误导结论。