3. 物理一致性约束的数学形式
在物理信息建模中，“物理一致性”不是一句口号，而必须落到可计算的数学表达式上。只有把物理规律写成对模型输出（或中间状态）的约束，才能把它嵌入损失函数、优化求解器或网络结构之中。本节按约束的数学形态，把常见的物理一致性约束分为四类：等式约束、不等式约束、微分方程约束与守恒律约束，并说明它们的表达方式、典型来源与在建模中的使用位置。
一、等式约束：把“必须相等”写成残差
等式约束是最直接的一类，形式为 g(x, u) = 0，其中 x 为状态或输入，u 为模型输出。它表达的是“某个物理量必须精确满足某个关系”。典型来源包括：本构关系（如线弹性 σ = E·ε）、几何协调关系（如节点位移与单元应变）、代数平衡（如电路基尔霍夫电压定律）、边界条件（如固定端位移为零）。
在软约束框架下，等式约束通常转化为残差平方项加入损失：L_eq = Σ ||g(x_i, u_i)||²。残差越接近零，物理一致性越好。需要注意量纲与尺度：若把应力（MPa 量级）与位移（mm 量级）的残差直接相加，梯度会被大量纲项主导，因此实践中常对每类残差做归一化，或为不同约束分配权重 λ_k。
二、不等式约束：表达物理可行域
不等式约束形式为 h(x, u) ≤ 0 或 h(x, u) ≥ 0，它不要求某个量取定值，而是把它限制在一个可行区间内。典型例子有：材料屈服准则（von Mises 应力不超过屈服强度 σ_vm − σ_y ≤ 0）、接触条件（法向间隙非负、法向力非负）、热力学第二定律（熵产率非负）、浓度与密度非负、功率不超过额定值等。
不等式约束在优化中常通过罚函数或松弛变量处理，例如 L_ineq = Σ max(0, h(x_i, u_i))²，即只在越界时产生惩罚。相比等式约束，它更容易出现“贴边”解，梯度在边界附近不连续，因此实际训练中常配合平滑近似（如 softplus）或逐步收紧的惩罚系数。判断是否生效，应观察越界样本比例与最大越界量，而不是只看总损失。
三、微分方程约束：把演化规律写进残差
许多物理规律以微分方程形式给出，如热传导 ρc ∂T/∂t = ∇·(k∇T) + q、结构动力学 Mü + Cü + Ku = F、Navier–Stokes 方程等。这类约束的核心是把方程整理为残差形式 N[u] = 0，再在配点（collocation points）上计算残差。以 PINN 为例，损失中包含 L_pde = Σ ||N[u_θ](x_i, t_i)||²，其中导数通过对网络输出自动微分获得。
微分方程约束的关键实现细节有三点：其一，配点采样要覆盖求解域并避开奇异区域；其二，时间与空间尺度需归一化，否则高阶导数项数值差异过大；其三，初值与边界条件通常单独作为等式约束项加入，形成“方程残差 + 初边值残差”的组合。评估时，应分别报告方程残差与初边值残差，避免总损失掩盖某一项的失效。
四、守恒律约束：全局不变量与通量平衡
守恒律约束表达“某个总量在演化中保持不变或按通量平衡变化”，典型形式为质量守恒 ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0、能量守恒、动量守恒。与逐点微分方程不同，守恒律常以积分形式使用：对控制体 Ω，有 d/dt ∫_Ω ρ dV + ∮_∂Ω ρv·n dS = 0。在离散模型中，这转化为“流入减流出等于内部积累”的代数关系，可直接作为等式约束施加在单元或系统层面。
守恒律约束的价值在于它比逐点方程更“鲁棒”：即使局部近似有误差，只要全局通量平衡成立，整体解仍可能保持物理合理。实践中常把守恒律作为额外损失项 L_cons = ||Σ流入 − Σ流出 − Δ积累||²，或作为后处理校正步骤，把模型输出投影回守恒可行集。
五、四类约束的关系与选用
这四类约束并非互斥，而是从不同粒度描述同一物理系统。等式约束刻画“精确关系”，不等式约束刻画“可行边界”，微分方程约束刻画“局部演化”，守恒律约束刻画“全局不变量”。一个完整的物理一致性模型往往同时包含多类：例如热-结构耦合问题中，本构关系用等式约束，屈服用不等式约束，热传导用微分方程约束，能量平衡用守恒律约束。
选用时应考虑三点：可计算性——约束是否能写成对模型输出的可微表达式；可满足性——硬约束是否会导致可行域为空或训练不稳定；可验证性——是否有独立的检验量来判断约束是否真正生效。下表给出一个示例性的约束登记表，便于在项目中逐项管理（参数为教学示例，非实测值）。
| 约束名称 | 数学形式 | 类型 | 示例阈值/参数 | 检验量 |
|---|---|---|---|---|
| 线弹性本构 | σ − E·ε = 0 | 等式 | E = 210 GPa | 本构残差均方根 |
| von Mises 屈服 | σ_vm − σ_y ≤ 0 | 不等式 | σ_y = 235 MPa | 越界样本比例 |
| 一维热传导 | ρc·∂T/∂t − k·∂²T/∂x² = 0 | 微分方程 | k = 45 W/(m·K) | 配点残差最大值 |
| 控制体质量守恒 | Σṁ_in − Σṁ_out − dM/dt = 0 | 守恒律 | 相对误差 < 1e-3 | 通量平衡相对误差 |
六、实现要点与常见误区
把上述约束落地时，最常见的三个问题是：量纲不统一导致某一类残差主导梯度；权重固定不变导致训练后期约束被数据项压制；只报告总损失导致无法定位哪类约束失效。建议在训练日志中分项记录每类残差的均值与最大值，并对权重采用自适应策略（如根据残差量级动态调整 λ_k）。
# 示例：分项残差记录（伪代码，参数为教学示例）
loss_data = mse(u_pred, u_obs)
loss_eq = mean((sigma - E * eps) ** 2)
loss_ineq = mean(relu(sigma_vm - sigma_y) ** 2)
loss_pde = mean(residual_heat(T_pred, x, t) ** 2)
loss_cons = (m_in - m_out - dM_dt) ** 2
total = loss_data + 1e-3*loss_eq + 1e-2*loss_ineq + 1e-4*loss_pde + 1e-2*loss_cons
log({"eq": loss_eq.item(), "ineq": loss_ineq.item(),
"pde": loss_pde.item(), "cons": loss_cons.item()})