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非线性PDE离散与求解策略

共计 30 章节

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非线性PDE问题识别与建模

从物理现象到数学方程 · 典型非线性项分类（对流 · 反应

离散化方法选型框架

有限差分 · 有限体积 · 有限元与谱方法的适用性对比

离散化方法选型框…有限差分

空间离散基础与非线性项处理

网格设计 · 差分算子构造 · 非线性通量离散（迎风

空间离散基础非线性项处理

时间推进格式与非线性稳定性

显式与隐式Runge-Kutta方法 · 线性多步法 · IMEX策略

时间推进格式非线性稳定性

Newton型非线性求解器

Newton-Raphson迭代 · Jacobian构造与近似（有限差分 · 自动微分）

Newton型非线性求解器

拟牛顿与无Jacobian方法

Broyden方法 · 固定点迭代 · Picard迭代

Jacobian拟牛顿

非线性代数系统的预处理与迭代求解

Krylov子空间方法（GMRES · BiCGSTAB） · 预条件子设计（ILU

非线性代数系统的…迭代求解

有限体积法中的非线性通量离散

Godunov型格式 · Riemann求解器 · 通量限制器

有限体积法非线性通量离散

高分辨率格式与总变差有界性

TVD · ENO · WENO格式构造

高分辨率格式总变差有界性

间断Galerkin方法处理非线性问题

DG格式构造 · 数值通量选择 · 限制器与激波捕捉

谱方法与非线性项去混叠

Fourier谱方法 · Galerkin谱方法 · 去混叠技术（2/3规则）

谱方法非线性项去混叠

有限元法中的非线性问题

变分形式 · 非线性刚度矩阵组装 · Newton迭代在FEM中的实现

有限元法非线性问题

自适应网格细化与非线性特征追踪

误差估计 · h-p自适应策略 · 激波与界面追踪

自适应网格细化非线性特征追踪

非线性PDE的稳定性与收敛性分析

能量方法 · 熵稳定性 · Lax等价定理推广

长时间积分与保结构算法

辛格式 · 能量守恒格式 · 指数积分方法

长时间积分保结构算法

非线性特征值问题与分岔分析

离散特征值问题 · 伪弧长延拓 · 分岔检测

非线性特征值问题分岔分析

非线性PDE的反问题与参数辨识

离散伴随方法 · 优化框架 · 正则化

非线性PDE的最优控制与离散优化

离散控制问题 · KKT系统 · 梯度计算

随机非线性PDE的离散策略

Monte Carlo · 随机Galerkin · 多项式混沌

PDE随机非线性

分数阶非线性PDE离散

分数阶算子离散 · 非局部模型 · 实战：分数阶反应扩散方程数值求解

PDE分数阶非线性

非线性PDE的模型降阶

POD · DEIM · 非线性降阶模型

机器学习辅助非线性PDE求解

物理信息神经网络 · 算子学习 · 实战：PINN求解Burgers方程

PDE机器学习辅助非线…

并行计算与高性能实现

区域分解 · GPU加速 · 并行Newton-Krylov

并行计算高性能实现

非线性PDE软件框架与工具

FEniCS · PETSc · deal.II简介

多物理场耦合非线性问题离散

耦合策略 · 分区与整体求解 · 案例：热-流-固耦合问题离散

多物理场耦合非线…耦合策略

非线性PDE的验证与确认

网格收敛性 · 代码验证 · 模型确认

非线性PDE的误差估计与自适应时间步长

后验误差估计 · 时间步长控制 · 实战：自适应时间步长求解反应扩散方程

非线性PDE的边界条件处理

非线性边界条件 · 吸收边界 · 周期边界

非线性PDE的守恒律系统与激波

Riemann问题 · 激波管 · 高分辨率格式

从问题到求解器 · 包括离散 · 非线性求解

综合项目从问题到求解器