3. 空间离散基础与非线性项处理

非线性偏微分方程数值求解的第一步，是把连续的空间导数替换为网格上的离散近似。这一步看似只是“把 ∂/∂x 换成差分”，但对非线性项而言，离散方式的选择会直接决定格式是否守恒、是否稳定、能否正确捕捉激波。本节以 Burgers 方程为载体，讨论网格设计、差分算子构造、非线性通量离散的三种典型方案，以及守恒性的验证方法。

一、网格设计与差分算子构造

以一维区间 [a,b] 为例，采用均匀网格：节点 x_i = a + iΔx，i = 0,…,N，Δx = (b−a)/N。若采用单元中心有限体积视角，则单元 I_i = [x_i−1/2, x_i+1/2]，单元平均量记为 u_i。两种视角在均匀网格上等价，但有限体积视角更便于讨论守恒性。

差分算子按精度与对称性构造。二阶中心差分：

u_x(x_i) ≈ (u_{i+1} − u_{i−1}) / (2Δx)      # 二阶中心，色散型误差
u_xx(x_i) ≈ (u_{i+1} − 2u_i + u_{i−1}) / Δx²  # 二阶中心，耗散型误差

一阶迎风差分（假设 u>0）：u_x ≈ (u_i − u_i−1)/Δx，具有数值耗散但无振荡。四阶中心差分 u_x ≈ (−u_i+2 + 8u_i+1 − 8u_i−1 + u_i−2)/(12Δx) 精度高但色散强，在间断附近易产生过冲。选择算子时须同时考虑精度阶、耗散/色散特性与稳定性约束（如显式格式的 CFL 条件）。

二、非线性通量离散：迎风、中心与混合

Burgers 方程 u_t + (u²/2)_x = νu_xx 中，通量 f(u) = u²/2 是非线性的，其特征速度 f′(u) = u 随解变化，这正是激波形成的根源。对流通项 (u²/2)_x 有三种典型离散：

• 中心型：直接对 f(u_i) 作中心差分，形式简单、二阶精度，但不满足熵条件，激波处产生非物理振荡。
• 迎风型：按特征方向取单侧差分，如 f_x ≈ (f_i − f_i−1)/Δx（u>0 时）。数值耗散抑制振荡，但一阶精度会过度抹平激波。
• 混合型：在光滑区用中心或高阶格式，在间断附近切换/加权到迎风或限制器格式，兼顾精度与稳定性。典型代表是通量分裂（如 Lax-Friedrichs 分裂 f^± = (f ± αu)/2，α = max|u|）配合限制器。

工程实现中，常把对流通量写成数值通量形式 F_i+1/2，单元更新为 u_iⁿ⁺¹ = u_iⁿ − (Δt/Δx)(F_i+1/2 − F_i−1/2) + 扩散项。数值通量的选取决定了格式的守恒性与熵特性。

三、守恒性验证

守恒格式的核心特征是：单元更新可写成通量差分形式，从而对全区域求和时内部通量两两抵消（望远镜求和），总量变化只由边界通量决定。验证方法很直接：在周期边界下，计算 Σ_i u_iΔx 随时间的漂移量，若数值格式守恒，该量应在机器精度内保持不变（含扩散项时也仅受边界影响）。若采用非守恒的中心差分直接离散 (u²/2)_x，则求和后无法消去内部项，总量会缓慢漂移，这是判断格式是否守恒的实用判据。

四、案例：Burgers 方程激波捕捉

取 ν = 0.01、初始条件 u(x,0) = sin(πx)、x∈[0,1]、周期边界。解析上，解在 x=0.5 附近随时间变陡，约 t≈1/π 时形成近激波。教学示例参数：N=200（Δx=0.005），显式 Euler 时间推进，Δt 由 CFL 取 0.4Δx/max|u|。

若用纯中心差分，激波附近出现明显过冲与下冲，甚至导致负值；改用一阶迎风，振荡消失但激波被抹宽到约 10 个网格；采用通量分裂 + minmod 限制器的混合格式，激波宽度压缩到 3～4 个网格且无过冲。判断依据可观察三点：激波处是否单调（无过冲）、激波宽度是否随网格加密而收敛、总量是否守恒。这三项恰好对应熵条件、精度与守恒性，是评估非线性离散方案的基本标尺。