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本课程属于：008-偏微分方程与有限元数值计算 数学计算科学计算与计算物理工程 · 共 20 门相关课程，组合学习更完整。

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PDE数值结果收敛性验证

共计 30 章节

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课程导入与收敛性验证全景

明确PDE数值解收敛性验证的定义 · 目标与工程意义 · 梳理从离散误差到验证结论的完整流程

课程导入收敛性验证全景

PDE数值方法误差来源剖析

以有限差分 · 有限元 · 有限体积为例

PDE数值方法误差来源…

收敛性核心概念与数学基础

讲解相容性 · 稳定性 · 收敛性

收敛性核心概念数学基础

验证指标与误差范数选择

针对不同PDE类型（椭圆 · 抛物 · 双曲）讨论L1

验证指标误差范数选择

网格收敛性验证的基准问题设计

以Poisson方程 · 热方程 · 对流方程为例

网格收敛性验证的…Poisson

网格细化策略与收敛阶计算

演示均匀加密 · 非均匀加密与自适应加密下的误差序列生… · 使用最小二乘拟合与相邻网格比方法计算…

网格细化策略收敛阶计算

时间推进格式的收敛性验证

针对显式与隐式时间积分 · 设计时间步长细化实验 · 分离空间与时间误差

时间推进格式的收…针对显式

时空联合收敛性验证

讲解时空同时细化时的误差行为 · 介绍网格比固定与分别细化的策略 · 使用二维误差表与收敛阶矩阵识别主导误…

时空联合收敛性验…讲解时空同时细化…

制造解方法（MMS）原理与实施

系统介绍MMS的构造步骤——选取制造… · 代入PDE求源项 · 施加相应边界条件

MMS制造解方法

MMS在有限差分与有限元代码中的实战

以热方程和线弹性问题为例 · 在现有代码中植入源项与边界条件 · 运行网格细化并计算观测收敛阶

MMS有限差分

代码验证与解的验证辨析

区分代码验证（Code Verifi… · 明确MMS · 网格收敛指数（GCI）与Richar…

代码验证解的验证辨析

Richardson外推与网格收敛指数（GCI）

推导Richardson外推公式 · 介绍GCI的计算步骤与安全因子选取 · 结合实例给出离散误差估计与置信区间

解的验证中的不确定性量化

讨论数值误差与模型误差的分离 · 引入观测收敛阶的不确定度评估 · 使用拟合残差与置信区间量化收敛性结论…

解的验证不确定性量化

非定常PDE的收敛性验证实战

以Navier-Stokes方程或对… · 设计时间步长与网格同时细化的实验 · 验证时空收敛阶并识别稳定性约束

非线性PDE的收敛性验证策略

针对Burgers方程 · 非线性扩散等问题 · 讨论非线性迭代误差与离散误差的耦合

间断问题与激波捕捉格式的收敛性验证

以双曲守恒律为例 · 说明光滑区与间断区收敛行为的差异 · 采用光滑制造解验证格式阶数

间断问题激波捕捉格式的收…

自适应网格细化下的收敛性验证

介绍基于残差或后验误差估计的AMR流… · 设计验证实验检验自适应策略是否达到预… · 并处理非均匀网格上的误差范数计算

自适应网格细化下…AMR

高阶格式与谱方法的收敛性验证

针对高阶有限差分 · 谱元与谱方法 · 设计网格细化实验验证指数收敛或高阶代…

高阶格式谱方法的收敛性验…

并行计算环境下的收敛性验证

讨论并行分区 · 通信与浮点运算顺序对结果的影响 · 设计可复现的并行收敛性实验

并行计算环境下的…讨论并行分区

收敛性验证的自动化脚本与工具链

构建参数化算例生成 · 批量运行 · 误差提取与收敛阶拟合的自动化流程

收敛性验证的自动…工具链

验证结果的可视化与报告撰写

设计误差-网格尺寸双对数图 · 收敛阶表与GCI报告模板 · 规范记录实验设置

验证结果的可视化报告撰写

收敛性验证中的常见陷阱与诊断

列举伪收敛 · 误差饱和 · 边界条件不一致

收敛性验证常见陷阱

基准算例库建设与回归测试

建立覆盖椭圆 · 抛物 · 双曲与非线性问题的基准算例库

基准算例库建设回归测试

工程软件中的收敛性验证案例

以OpenFOAM · FEniCS或商业软件为对象 · 展示如何在其框架内实施MMS与GCI

工程软件收敛性验证案例

多物理场耦合问题的收敛性验证

以流固耦合或热力耦合为例 · 讨论耦合迭代误差与离散误差的分离策略 · 设计分步验证与整体验证方案

多物理场耦合问题…以流固耦合或热力…

收敛性验证与实验数据对比的衔接

说明数值验证与确认（Validati… · 在缺乏解析解时利用实验数据评估数值误… · 并给出误差带构建方法

收敛性验证实验数据对比的衔…

收敛性验证中的统计方法与不确定性传播

引入蒙特卡洛与多项式混沌方法评估输入… · 给出收敛性结论的统计置信度

收敛性验证统计方法

大规模问题收敛性验证的计算成本优化

讨论网格细化实验的成本控制 · 采用嵌套网格 · 局部细化与代理模型减少计算量

大规模问题收敛性…讨论网格细化实验…

从零完成一个PDE求解器的收敛性验证 · 完成MMS设计 · 网格细化

综合实战PDE

课程总结与收敛性验证最佳实践

回顾核心方法链 · 提炼验证计划制定 · 执行与评审的最佳实践

课程总结收敛性验证最佳实…