2. 一维杆问题的强形式与弱形式推导
一维杆（bar）问题是有限元方法最经典的入门模型：一根等截面直杆，长度 L、截面积 A、弹性模量 E，受轴向分布载荷 f(x) 与端部集中力作用。它足够简单，能手工推导出全部公式；又足够典型，弱形式、分部积分、试探函数与检验函数空间等核心概念都能在其中完整呈现。本节以它为主线，把从微分方程到弱形式表达式的推导链条走通。
一、强形式：微分方程与边界条件的建立
先明确符号约定：取 x 轴沿杆轴线向右为正，位移 u(x) 以向右为正，应变 ε = du/dx，应力 σ = Eε（拉为正）。从长度为 dx 的微元出发做静力平衡：左端轴力为 N(x)，右端为 N(x+dx)，微元上分布载荷为 f(x)dx，则
N(x+dx) − N(x) + f(x)dx = 0
dN/dx + f = 0， 其中 N = σA = EA·du/dx代入本构关系，得到强形式（strong form）的控制微分方程：
−(d/dx)(EA·du/dx) = f(x)， x ∈ (0, L)边界条件分两类。第一类是本质边界条件（Dirichlet 型），直接给定位移：u(0) = ū，例如左端固定。第二类是自然边界条件（Neumann 型），给定端部轴力：N(L) = EA·u′(L) = P̄，例如右端受拉。注意自然边界条件中出现的是导数，这正是后面弱形式能"自然"吸收它的原因。强形式要求 u 二阶可导且方程逐点成立，这对载荷有间断、截面突变的问题过于苛刻，弱形式正是为放宽这一要求而生。
二、加权残值法与分部积分
设近似解 u_h 不满足微分方程，代入后产生残值 R(x) = −(EA·u_h′)′ − f。加权残值法要求残值在某种平均意义下为零：选取检验函数（权函数）v(x)，令
∫₀ᴸ v·[−(EA·u_h′)′ − f] dx = 0， 对所有允许的 v 成立此时 u_h 仍被要求二阶可导，且本质边界条件难以在近似解中直接满足。关键一步是分部积分，把导数从 u_h 转移到 v 上：
−∫₀ᴸ v·(EA·u_h′)′ dx = ∫₀ᴸ v′·EA·u_h′ dx − [v·EA·u_h′]₀ᴸ于是加权残值式变为
∫₀ᴸ EA·u_h′·v′ dx = ∫₀ᴸ f·v dx + [v·EA·u_h′]₀ᴸ这一步带来三重收益：对 u_h 的导数要求从二阶降为一阶；边界项中出现的 EA·u_h′ 恰是轴力，自然边界条件可直接代入；同时为后续 Galerkin 离散（u_h 与 v 取同一组基函数）铺平道路。
三、弱形式表达式与函数空间
把边界项展开：在 x = L 处 v(L)·N(L) = v(L)·P̄；在 x = 0 处若位移已固定，则要求检验函数满足 v(0) = 0，该端边界项自动消失。整理得弱形式（weak form）：求 u ∈ S，使对所有 v ∈ V 有
∫₀ᴸ EA·(du/dx)·(dv/dx) dx = ∫₀ᴸ f·v dx + P̄·v(L)其中试探函数空间 S = {u | u ∈ H¹(0,L)，u(0) = ū}，检验函数空间 V = {v | v ∈ H¹(0,L)，v(0) = 0}。H¹ 表示函数本身及其一阶导数平方可积，比强形式要求的 C² 宽松得多。两个空间的区别仅在本质边界条件：S 带非齐次约束，V 取齐次约束，这一"试探空间带值、检验空间归零"的搭配是弱形式推导中最容易出错的地方。
四、一个可手算的示例
取 L = 1 m、EA = 1000 N、左端固定 u(0) = 0、右端自由但受 P̄ = 10 N、分布载荷 f(x) = 20x N/m。弱形式为：求 u ∈ S，使对所有 v ∈ V 有
∫₀¹ 1000·u′·v′ dx = ∫₀¹ 20x·v dx + 10·v(1)若取单个线性试探函数 u_h = a·x（自动满足 u(0)=0），检验函数取 v = x，代入得 1000a = 10 + 10 = 20，即 a = 0.02，u_h = 0.02x。与精确解 u = x²/100 + x/100 相比，线性近似在端点处吻合、内部有偏差，这正说明弱形式解是"平均意义"下的近似，加密网格（增加基函数）即可逼近精确解。这个手算过程也验证了弱形式推导的正确性：右端 P̄·v(L) 项确实把集中力纳入了方程。
五、推导中常见的三个易错点
- 符号方向不统一：若把拉应力记为负，则本构与边界项符号需整体调整。建议全篇统一"拉为正、x 向右为正"，并在图示中标注。
- 检验函数未归零：本质边界条件所在端必须取 v = 0，否则边界项无法消去，弱形式将多出一项未知反力。
- 把自然边界条件强加给试探空间：S 中只放位移约束，力边界条件通过弱形式的右端项体现，这正是"自然"二字的含义。
至此，一维杆的强形式、加权残值、分部积分与弱形式表达式已构成完整链条。后续的 Galerkin 离散，就是把 u_h = Σ Nᵢuᵢ、v = Nⱼ 代入本节得到的弱形式，从而组装出刚度矩阵与载荷向量。