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有限体积守恒离散方法入门

共计 30 章节
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01
课程导入与守恒律概览
有限体积方法的核心思想 · 守恒性含义 · 课程地图与学习路径
课程导入守恒律概览
02
守恒型偏微分方程基础
积分形式与微分形式 · 通量函数 · 源项
守恒型偏微分方程…积分形式
03
有限体积离散的基本框架
控制体积划分 · 网格与单元 · 界面通量
有限体积离散的基…控制体积划分
04
网格与几何度量
结构化与非结构化网格 · 单元几何量（体积 · 面积
网格几何度量
05
数值通量函数（一）
迎风思想 · Godunov格式 · Riemann问题与通量函数的一般性…
数值通量函数迎风思想
06
数值通量函数（二）
Lax-Friedrichs · Rusanov · HLL系列通量的构造与比较
数值通量函数Lax-Friedric…
07
时间推进方法
显式Euler · Runge-Kutta方法 · CFL条件
时间推进方法Euler
08
标量守恒律的有限体积实现
一维线性对流与Burgers方程 · 周期边界与Dirichlet边界处理 · 验证守恒性
标量守恒律的有限…Burgers
09
一维Euler方程的有限体积求解
Riemann求解器（精确与近似） · 边界条件 · 激波管问题（Sod）实战
Euler一维
10
高阶重构与MUSCL格式
分段线性重构 · 斜率限制器（minmod · van Leer等）
MUSCL高阶重构
11
多维有限体积方法
维度分裂与真多维格式 · 非结构网格上的通量计算 · 几何守恒律（GCL）
多维有限体积方法维度分裂
12
边界条件处理
固壁 · 入口/出口 · 远场
边界条件处理固壁
13
源项与刚性处理
源项离散 · 算子分裂 · 隐式-显式（IMEX）方法
源项刚性处理
14
扩散项与对流-扩散方程
中心差分通量 · 界面梯度重构 · 隐式处理与守恒性
扩散项对流
15
方程组与耦合系统
Euler方程 · 浅水方程 · 多组分反应流的有限体积离散要点
方程组耦合系统
16
限制器与 positivity 保持
限制器对精度与稳定性的影响 · 正性保持通量限制 · 在Euler方程中的应用
positivity限制器
17
隐式时间推进与牛顿迭代
隐式Euler · LU-SGS · GMRES
隐式时间推进牛顿迭代
18
误差分析与精度验证
截断误差 · 收敛阶测试（制造解方法） · 守恒性误差的量化评估
误差分析精度验证
19
稳定性与CFL条件进阶
von Neumann分析 · 多维CFL · 自适应时间步长与稳定性监控
CFL稳定性
20
实战项目一
一维标量守恒律求解器开发——从网格生… · 时间推进与结果可视化
实战项目一一维标量守恒律求…
21
实战项目二
二维Euler方程有限体积求解器（结…
实战项目二Euler
22
实战项目三
非结构网格有限体积方法——网格生成 · 通量计算 · 限制器与并行初步
实战项目三非结构网格有限体…
23
实战项目四
对流-扩散问题——源项处理 · 隐式时间推进与保正性验证
实战项目四对流
24
实战项目五
浅水方程与保平衡格式——溃坝模拟与干…
实战项目五浅水方程
25
有限体积方法的性能优化
向量化 · 并行计算（MPI/OpenMP） · 内存访问优化与通量计算加速
有限体积方法的性…向量化
26
验证与确认（V&V）
代码验证 · 网格收敛性研究 · 与实验/解析解对比
验证确认
27
常见陷阱与调试技巧
守恒性破坏的典型原因 · 通量不一致 · 边界条件错误
常见陷阱调试技巧
28
与其他离散方法的比较
有限差分 · 有限元 · 间断Galerkin方法与有限体积的…
其他离散方法的比…有限差分
29
前沿专题选讲
高精度有限体积（WENO） · 自适应网格细化（AMR） · 动网格与几何守恒律进阶
前沿专题选讲WENO
30
课程总结与综合实战
知识体系回顾 · 综合案例（如激波-边界层干扰）的有限… · 进一步学习资源
课程总结综合实战