4. 网格与几何度量

有限体积法的守恒性并不是凭空产生的，它建立在“每个控制单元恰好覆盖计算域、相邻单元界面严格共享”这一几何前提之上。离散方程中的通量项最终都要乘以界面面积、沿界面法向投影，而瞬态项和源项则要乘以单元体积。因此，网格不仅是求解域的剖分方式，更是守恒律的几何载体。本节围绕三件事展开：网格的两大类型、单元几何量（体积、面积、法向）的计算方法，以及网格质量如何通过几何量误差破坏守恒性。

结构化网格与非结构化网格

结构化网格的节点可以用指标三元组 (i, j, k) 唯一标识，邻接关系隐含在指标增减中。在二维情况下，一个内部单元 (i, j) 的四个邻居固定为 (i±1, j) 与 (i, j±1)，无需显式存储连接表。这种规则性带来两个直接好处：内存访问连续、界面法向与面积可预先按方向缓存。常见的结构化网格包括均匀笛卡尔网格、张量积网格和贴体曲线网格（如绕翼型的 O 型、C 型网格）。贴体网格虽然指标规则，但单元可能是弯曲四边形，几何量必须逐面计算，不能简单取常数。

非结构化网格没有指标结构，单元可以是三角形、四边形、四面体、六面体、棱柱或金字塔，单元之间的连接必须通过显式的面—单元关联表描述。它擅长处理复杂几何、局部加密和自适应细化，但代价是数据结构复杂、几何量需要逐面独立计算，且更容易出现质量较差的单元。实际工程中常采用混合网格：物面附近用棱柱层捕捉边界层，远场用四面体填充。

无论哪种类型，有限体积法都要求网格满足“协调性”：两个相邻单元共享同一个面，且该面从两侧看面积相同、法向相反。若网格存在悬挂节点（一个面被对面两个面分割），就必须引入特殊处理，否则界面通量无法一一配对，守恒性立即被破坏。

单元几何量的计算

几何量计算的核心是体积（三维）或面积（二维）、界面面积和单位外法向。对二维多边形单元，面积可用鞋带公式：对顶点按逆时针顺序 (x₁,y₁)…(xₙ,yₙ)，有 A = ½ Σ (xᵢ yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ yᵢ)。界面长度由两端点距离给出，外法向由边向量旋转 90° 并归一化得到，方向需与单元顶点顺序保持一致。三维多面体体积可用散度定理转化为面积分：V = ⅓ Σ_f (x_f · n_f) A_f，其中 x_f 为面心位置，n_f 为面单位外法向，A_f 为面面积。该式对任意多面体成立，是有限体积代码中最常用的体积算法。

界面法向与面积的精度直接影响通量。以二维为例，若界面长度为 L、单位法向为 n = (nₓ, n_y)，则通过该面的对流通量贡献为 F·n·L，其中 F 为通量密度向量。若法向计算出现偏差角 δ，通量误差约为 F·L·sin δ，在强对流或大通量区域会被放大。因此高质量代码通常用高精度公式计算面心、面法向和面积，并对弯曲界面采用多点求积而非单点近似。

网格质量如何影响守恒性

有限体积法的离散守恒性依赖于“同一界面两侧通量等值反号”。这一性质在代数上由界面唯一编号保证，但在几何上要求两侧使用同一组面积与法向。若代码对两侧分别计算几何量，浮点舍入或算法差异会导致 A_left ≠ A_right，通量配对失败，产生虚假源汇。因此工程实现中通常只计算一次界面几何量，两侧共享同一记录，这是保证机器精度级守恒的关键工程约定。

更隐蔽的问题来自网格质量。严重畸变的单元（大长宽比、大偏斜、负体积倾向）会使面心、法向和体积的计算误差增大，进而使离散方程不再精确满足全局守恒。偏斜网格上，界面法向与连接两单元中心的向量不平行，简单的两点差分会产生“交叉扩散”误差，虽然局部仍可写成守恒形式，但精度下降，且在粗网格上可能表现为非物理的源项。负体积或零面积单元则直接使计算发散。实践中常用长宽比、偏斜度、正交质量和雅可比行列式符号来评估网格，其中雅可比符号检查是贴体结构化网格的必做项。

工程实践中的检查要点

在真正动手划分和检查网格时，可以按以下顺序落实。第一，确认网格协调：所有内部面恰好被两个单元共享，边界面上法向指向域外，无悬挂节点或重复面。第二，逐单元检查体积或面积符号，贴体结构化网格要检查雅可比行列式在全部节点为正，出现负值说明单元翻转。第三，统计长宽比与偏斜度分布，对超过阈值的单元局部加密或光顺。第四，验证几何量一致性：对每个界面比较两侧读取的面积与法向，差值应在舍入误差量级。第五，做一次全局守恒测试，例如给定常通量场，检查所有界面通量之和是否为零（内部面抵消、边界面给出净流出），偏差应接近机器精度。

需要强调的是，守恒性与精度是两个不同层次的要求。守恒性由“界面唯一、通量配对”保证，即使网格较粗也能在代数上严格守恒；精度则受几何量误差和格式阶数影响。理解这一区分，才能在网格质量不理想时判断问题出在守恒结构还是离散精度，从而选择加密、光顺还是修正几何量算法，而不是盲目重划网格。