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偏微分方程数值求解工程入门

共计 30 章节
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01
工程问题中的偏微分方程建模
从热传导 · 结构振动 · 流体流动等实际场景出发
工程问题偏微分方程建模
02
偏微分方程分类与数值求解路线选择
椭圆型 · 抛物型 · 双曲型方程的特征分析
偏微分方程分类数值求解路线选择
03
有限差分法基础与网格设计
一维与二维差分格式构造 · 截断误差与相容性分析 · 网格步长选择与稳定性初步概念
有限差分法基础网格设计
04
显式与隐式时间推进格式
抛物型方程的前向欧拉 · 后向欧拉与Crank-Nicolso… · 稳定性条件与计算效率权衡
显式隐式时间推进格式
05
一维热传导方程数值求解实战
从零实现显式与隐式差分程序 · 验证解析解 · 分析时间步长对稳定性的影响
一维热传导方程数…从零实现显式
06
二维稳态热传导问题求解
五点差分格式与迭代求解器（Jacob… · Gauss-Seidel · SOR）
二维稳态热传导问…Jacob
07
有限元法入门
弱形式推导 · 形函数构造与单元刚度矩阵组装 · 以一维杆件问题为例实现完整有限元流程
有限元法入门弱形式推导
08
二维有限元网格生成与单元类型
三角形与四边形单元 · 网格质量评价 · 使用开源工具生成实际工程网格
二维有限元网格生…单元类型
09
二维泊松方程有限元求解实战
组装全局刚度矩阵与载荷向量 · 施加Dirichlet与Neuman… · 对比数值解与解析解
二维泊松方程有限…组装全局刚度矩阵
10
有限体积法基础
控制体积分形式 · 通量离散与守恒性 · 一维对流扩散方程的有限体积离散
有限体积法基础控制体积分形式
11
对流主导问题的数值挑战
中心差分与迎风格式 · 数值振荡与假扩散分析 · Peclét数对格式选择的影响
对流主导问题的数…心差分
12
一维对流扩散方程数值实验
实现迎风与中心格式 · 对比不同Peclét数下的解行为 · 评估格式的稳定性和精度
一维对流扩散方程…实现迎风
13
二维对流扩散问题工程案例
污染物输运模拟 · 采用有限体积法离散 · 分析网格与格式对浓度分布的影响
二维对流扩散问题…污染物输运模拟
14
波动方程数值求解
显式中心差分格式 · Courant-Friedrichs… · 一维弦振动与声波传播模拟
波动方程数值求解显式
15
二维波动方程与稳定性分析
交替方向隐式格式与显式格式对比 · 边界反射处理 · 模拟膜振动或电磁波传播
二维波动方程稳定性分析
16
边界条件处理技术
Dirichlet · Neumann · Robin边界条件的离散实现
边界条件处理技术Dirichlet
17
非线性偏微分方程数值方法
Newton迭代与Picard线性化 · 一维Burgers方程数值求解与激波…
非线性偏微分方程…Newton
18
线性方程组迭代求解器
Jacobi · Gauss-Seidel · SOR
线性方程组迭代求…Jacobi
19
时间推进高阶格式
Runge-Kutta方法与多步法 · 稳定性区域分析 · 在抛物型与双曲型方程中的应用
时间推进高阶格式Runge-Kutta
20
自适应网格细化初步
误差估计与网格自适应策略 · 一维自适应有限差分实现 · 展示对解精度和效率的提升
自适应网格细化初…误差估计
21
并行计算入门
区域分解与MPI基础 · 一维热传导方程的并行显式格式实现与加…
并行计算入门MPI
22
工程软件与库的使用
FEniCS · Deal.II · PETSc等开源工具简介
工程软件库的使用
23
结果可视化与后处理
使用ParaView或Matplot… · 误差范数计算与收敛性图表绘制
结果可视化后处理
24
验证与确认（V&V）
网格收敛性分析 · 与解析解或实验数据对比 · 代码验证与确认流程
验证确认
25
综合实战
二维稳态热传导工程案例——从几何建模 · 网格生成 · 有限元求解到结果分析全流程
综合实战二维稳态热传导工…
26
综合实战
一维瞬态对流扩散工程案例——污染物输… · 格式选择 · 稳定性控制与结果解读
综合实战一维瞬态对流扩散…
27
综合实战
二维波动方程工程案例——膜振动或声波… · 边界条件影响与能量守恒检验
综合实战二维波动方程工程…
28
数值格式的精度与稳定性理论
截断误差 · Lax等价定理 · von Neumann稳定性分析
数值格式的精度稳定性理论
29
工程中的非线性问题
相场模型或反应扩散方程数值求解 · 线性化策略与时间步长控制
工程非线性问题
30
课程总结与进阶方向
知识体系回顾 · 工程应用中的常见陷阱 · 高性能计算与多物理场耦合的进阶学习路…
课程总结进阶方向