3. 有限差分法基础与网格设计

有限差分法的核心思想非常朴素：用离散网格点上的函数值之差，去近似连续导数。要真正用好它，关键不在于记住某个公式，而在于搞清楚三件事——差分格式是怎么构造出来的、它近似得有多准（截断误差与相容性）、以及网格步长取多大才既算得动又算得对。本节围绕一维与二维差分格式的构造展开，并把截断误差、相容性和稳定性的初步概念串起来。

一、从泰勒展开构造差分格式

设未知函数 u(x) 在网格点 x_i = i·h 上取值 u_i，h 为网格步长。把 u(x_i±h) 在 x_i 处做泰勒展开：

u(x+h) = u + h·u' + h²/2·u'' + h³/6·u''' + O(h⁴)
u(x−h) = u − h·u' + h²/2·u'' − h³/6·u''' + O(h⁴)

两式相减，偶次项抵消，得到一阶导数的中心差分：

u'(x_i) ≈ (u_{i+1} − u_{i−1}) / (2h) + O(h²)

两式相加，奇次项抵消，得到二阶导数的中心差分：

u''(x_i) ≈ (u_{i+1} − 2u_i + u_{i−1}) / h² + O(h²)

若只用 u_i+1 和 u_i，则得到一阶向前差分 (u_i+1−u_i)/h，误差为 O(h)。可见同样近似一阶导数，中心差分比单侧差分高一阶精度，代价是要用到两侧邻居，边界处需要特殊处理。这就是差分格式构造的基本逻辑：选择哪些网格点、如何线性组合，决定了格式的精度阶和适用位置。

二、二维情形与五点格式

二维泊松方程 −∇²u = f 在矩形网格 (x_i, y_j) 上，对 x、y 方向分别用二阶中心差分，相加得到经典的五点差分格式：

(4u_{i,j} − u_{i+1,j} − u_{i−1,j} − u_{i,j+1} − u_{i,j−1}) / h² = f_{i,j}

这里假设 x、y 方向步长相同为 h。若两方向步长分别为 h_x、h_y，则系数变为 2/h_x²+2/h_y² 与各自的 1/h² 权重。五点格式的每个未知量只与上下左右四个邻居耦合，形成稀疏带状线性系统，这正是它被广泛采用的原因。下图展示了一维三点模板与二维五点模板的网格依赖关系，以及边界点需要单侧格式的情形。

三、截断误差与相容性

把精确解代入差分方程，得到的残差就是局部截断误差。例如对 u'' 的中心差分，截断误差主项为 −h²/12·u''''(x_i)，故记为 O(h²)。若当 h→0 时截断误差趋于零，则称格式与微分方程相容。相容性只说明格式在极限意义下逼近原方程，是格式可用的必要条件，但不保证数值解收敛——还需要稳定性配合（Lax 等价定理：相容+稳定 ⟺ 收敛）。

工程上判断相容性很直接：写出截断误差表达式，看 h 的最高次幂是否为正。若格式设计有误（如系数配错），截断误差可能为 O(1)，即无论网格多细都不收敛，这类错误必须在编码前通过推导排除。

四、网格步长选择与稳定性初步

步长 h 的选择是精度与计算量的折中。对二阶格式，误差 ∝ h²，h 减半误差降为 1/4，但二维未知量增为 4 倍、三维增为 8 倍。实际做法是先做网格收敛性检查：取 h、h/2、h/4 三套网格计算同一问题，观察误差比是否接近 4（二阶收敛），若偏离则说明格式或边界处理有问题。

对含时间的问题（如热传导 u_t=αu_xx），显式格式的稳定性给出硬约束。以 FTCS 格式为例：

u_i^{n+1} = u_i^n + α·Δt/h² · (u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n)

令 r = α·Δt/h²，稳定性要求 r ≤ 1/2，即 Δt ≤ h²/(2α)。这说明空间网格越细，时间步长必须按平方缩小，计算代价急剧上升——这正是隐式格式被引入的动机。二维显式格式则要求 r ≤ 1/4。下表给出一个教学示例中的参数选择参考（示例参数，非实测）：

需要强调的是，稳定性分析给出的是必要条件或充分条件，具体取决于格式。对初学者，最实用的做法是：先用解析解或制造解（method of manufactured solutions）验证代码的空间收敛阶，再检查时间步长是否落在稳定域内，两者都通过后，数值结果才具备可信度。