4. 一维平板瞬态导热解析解

对于厚度为 2L 的无限大平板，两侧表面同时与温度为 T_∞ 的流体进行第三类边界换热，初始温度均匀为 T₀。若物性为常数、无内热源，则温度场只随位置 x 和时间 t 变化，控制方程为

∂T/∂t = a · ∂²T/∂x²      (-L < x < L, t > 0)

其中 a = λ/(ρc_p) 为热扩散率。第三类边界条件写作 −λ∂T/∂x|_x=L = h[T(L,t) − T_∞]，x = −L 处对称。为简化，引入过余温度 θ = T − T_∞，则初始条件 θ(x,0) = θ₀ = T₀ − T_∞，边界条件变为 −λ∂θ/∂x|_x=L = hθ(L,t)。

分离变量与特征值方程

设 θ(x,t) = X(x)·Γ(t)，代入方程得 Γ′/(aΓ) = X″/X = −β²。于是 Γ = C·exp(−β²at)，而 X 满足 X″ + β²X = 0，通解为 X = A cos(βx) + B sin(βx)。由中心对称性（x = 0 处 ∂θ/∂x = 0）得 B = 0，即 X = A cos(βx)。

把 X 代入 x = L 处的边界条件：−λ·(−Aβ sin βL) = h·A cos βL，整理得到

βL · tan(βL) = Bi，   Bi = hL/λ

这就是该问题的特征值方程（超越方程），其根 β_nL 决定了一系列特征值 β_n。令 μ = βL，则 μ tan μ = Bi。该方程有无穷多个正根 μ₁ < μ₂ < …，每个根对应一个特征函数 cos(μ_nx/L) 和一个时间衰减率 aμ_n²/L²。Bi 越小，第一根 μ₁ 越小，温度衰减越慢；Bi → ∞ 时 μ₁ → π/2，对应第一类边界（表面温度恒定）的极限情形。

级数解的形式与系数确定

将各特征解叠加，得到一般解

θ(x,t) = Σ C_n · cos(μ_n x/L) · exp(−μ_n² · Fo)，  Fo = at/L²

系数 C_n 由初始条件 θ(x,0) = θ₀ 利用特征函数的正交性确定。对 cos(μ_nx/L) 在 [0, L] 上积分，可得

C_n = θ₀ · 4 sin μ_n / (2μ_n + sin 2μ_n)

注意这里的 μ_n 是特征值方程 μ tan μ = Bi 的第 n 个正根，而不是简单的 (2n−1)π/2。这一点是第三类边界与第一类边界的本质区别：第一类边界下特征值有显式表达式，第三类边界必须数值求根。工程上常把前几个根制成表或拟合式，例如 Bi = 2 时 μ₁ ≈ 1.077、μ₂ ≈ 3.64、μ₃ ≈ 6.58（示例数值，实际使用应查表或数值求解）。

收敛性分析与工程取项

级数解中每一项都带有 exp(−μ_n²Fo) 因子。由于 μ_n 随 n 迅速增大，高阶项衰减极快。以 Bi = 2 为例，μ₁² ≈ 1.16，μ₂² ≈ 13.3，μ₃² ≈ 43.3。当 Fo = 0.2 时，第二项因子约为 exp(−2.66) ≈ 0.07，第三项约为 exp(−8.66) ≈ 1.7×10⁻⁴。因此 Fo 稍大时只取第一项就能获得很高精度，这就是所谓“单容近似”或“第一特征值主导”的依据。

反过来，当 Fo 很小（例如 Fo < 0.05）时，高阶项尚未充分衰减，只取一项会明显低估表面附近的温度变化，此时需要保留 3～5 项甚至更多。判断取项数的实用做法是：先估算所需精度 ε，再要求被截断项的最大贡献小于 ε，即 |C_N+1|·exp(−μ_N+1²Fo) < ε。由于 C_n 本身随 n 减小，通常只需检查前两三项即可。

一个可复现的算例

取厚度 2L = 0.10 m 的钢板，λ = 45 W/(m·K)，a = 1.2×10⁻⁵ m²/s，h = 900 W/(m²·K)，则 L = 0.05 m，Bi = hL/λ = 1.0。初始温度 T₀ = 500 ℃，流体 T_∞ = 20 ℃，θ₀ = 480 K。求 t = 300 s 时中心面温度。

先算 Fo = at/L² = 1.2×10⁻⁵×300/0.0025 = 1.44。对 Bi = 1.0，查表或数值求解得 μ₁ ≈ 0.8603，C₁ ≈ 1.1191（示例值）。中心面 x = 0 处 cos 项为 1，故 θ(0,t) ≈ 480×1.1191×exp(−0.8603²×1.44) ≈ 480×1.1191×exp(−1.066) ≈ 480×1.1191×0.344 ≈ 184.8 K。于是 T ≈ 20 + 184.8 ≈ 205 ℃。由于 Fo 远大于 0.2，第二项贡献约为 exp(−(4.0)²×1.44) 量级，可忽略，单容近似成立。

若把时间改为 t = 10 s，则 Fo = 0.048，此时第二项因子 exp(−μ₂²Fo) 不再可忽略，必须保留多项，否则中心温度会被高估。这个对比说明：解析解的价值不仅在于给出公式，更在于通过 Fo 与 Bi 两个无量纲数快速判断解的形态和取项策略。

实际使用时，建议把特征值求根、系数计算和级数求和写成一个小脚本，输入 Bi 与 Fo 即可输出温度分布，并对取项数做收敛检查。这样既保留了解析解的物理洞察，又避免了手工查表带来的误差。