2. 瞬态热扩散的数学描述

瞬态导热的核心问题是：温度场不仅随位置变化，还随时间变化。要定量回答“某时刻某点的温度是多少”，必须建立并求解一维瞬态导热方程。本节从能量守恒出发完成方程推导，梳理初始条件与三类边界条件的物理含义，并介绍让方程“去量纲化”的无量纲化方法——它是后续集总参数法、一维平板/圆柱/球体解析解的共同基础。

一、一维瞬态导热方程的推导

先明确坐标系与符号约定：取 x 轴沿导热方向，正方向指向温度降低一侧；温度记为 T(x,t)，单位 ℃ 或 K；导热系数 k、密度 ρ、比热容 c 均视为常数。在物体内部取厚度为 dx 的微元控制体，截面积为 A。

根据傅里叶定律，从左侧流入微元的热流为 q_x = −kA(∂T/∂x)；从右侧流出的热流为 q_x+dx = q_x + (∂q_x/∂x)dx。微元内无内热源时，净导入热量全部用于增加内能：

q_x − q_x+dx = ρcA·dx·(∂T/∂t)
−∂/∂x[−kA(∂T/∂x)]dx = ρcA·dx·(∂T/∂t)
k·∂²T/∂x² = ρc·∂T/∂t

两边除以 ρc，得到标准形式：

∂T/∂t = a·∂²T/∂x² ，  a = k/(ρc)

其中 a 称为热扩散率（单位 m²/s），它衡量温度扰动在材料中“扩散得快不快”：a 越大，同样的温度梯度下温度场调整越迅速。若存在内热源 Φ（W/m³），方程右端需加 Φ/(ρc) 项。三维情形则为 ∂T/∂t = a∇²T，一维只是它在单方向上的退化形式。

二、初始条件与边界条件的分类

导热方程是时间一阶、空间二阶的偏微分方程，完整定解需要 1 个初始条件加 2 个边界条件（一维情形）。

初始条件描述过程开始的温度分布：T(x,0) = f(x)。工程上最常见的是均匀初始温度 T(x,0) = T₀，例如一块长期置于室温的钢板突然被投入高温炉中。

边界条件按给定物理量的不同分为三类：

• 第一类（Dirichlet）：直接给定边界温度随时间的变化，T(0,t) = T_w(t)。适用于表面温度可测或可强制维持的场合，如表面与沸腾液体接触、相变界面等。
• 第二类（Neumann）：给定边界热流密度，−k(∂T/∂x)|_边界 = q_w(t)。q_w = 0 时即绝热边界，是保温分析的常用理想化处理。
• 第三类（Robin）：给定边界与流体间的对流换热关系，−k(∂T/∂x)|_边界 = h[T_∞ − T_边界]。它把表面导热与外部对流耦合起来，是空气冷却、水冷等绝大多数工程换热问题的真实描述。

三、无量纲化方法

直接求解带量纲的方程，解会依赖 T₀、T_∞、L、a、h、t 等多个参数，无法做成通用图表。无量纲化的目的，是把这些参数组合成少数几个无量纲数，使同一类问题的解“归一”。

对厚度为 2L、初始温度 T₀、两侧被温度 T_∞ 的流体对流冷却的平板，定义：

无量纲温度  θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)
无量纲坐标  X = x/L
无量纲时间  Fo = a·t/L²      （傅里叶数）
毕渥数      Bi = h·L/k

代入后方程化为 ∂θ/∂Fo = ∂²θ/∂X²，初始条件 θ(X,0) = 1，第三类边界条件化为 ∂θ/∂X|_X=1 = −Bi·θ(1,Fo)。可见原问题的解只依赖于 Fo 与 Bi 两个无量纲数：θ = f(X, Fo, Bi)。

两个数的物理意义很直观：Fo 是“已扩散时间”与“扩散穿过特征尺寸所需时间”之比，Fo 越大过程越深入；Bi 是内部导热热阻 L/k 与表面对流热阻 1/h 之比，Bi 很小意味着内部温度趋于均匀（可用集总参数法），Bi 很大则内部温差不可忽略。这正是后续章节选择解法的判据。

四、一个可动手的示例

设一块厚 2L = 0.10 m 的钢板（k = 45 W/(m·K)，ρ = 7800 kg/m³，c = 460 J/(kg·K)），初始均匀温度 T₀ = 500 ℃，突然置于 T_∞ = 30 ℃ 的空气中冷却，表面 h = 80 W/(m²·K)。先算特征参数：

a = k/(ρc) = 45/(7800×460) ≈ 1.25×10⁻⁵ m²/s
L = 0.05 m
Bi = hL/k = 80×0.05/45 ≈ 0.089
Fo(t=600 s) = a·t/L² = 1.25×10⁻⁵×600/0.0025 ≈ 3.0

Bi ≈ 0.089 < 0.1，说明内部导热热阻远小于表面对流热阻，钢板内部温度基本均匀，可用集总参数法估算：θ ≈ exp(−Bi·Fo·A_s相关项)，对平板近似有 θ ≈ exp(−3Bi·Fo) = exp(−0.80) ≈ 0.45，即 T ≈ 30 + 0.45×(500−30) ≈ 242 ℃。这一结果属于示例估算，实际工程中应结合更精确的级数解或数值计算校核。若把 h 提高到 800 W/(m²·K)（如水冷），Bi ≈ 0.89，内部温差不可忽略，就必须回到一维瞬态导热的解析解或数值解。

小结本节逻辑链：能量守恒 + 傅里叶定律 → 一维瞬态导热方程；初始条件与三类边界条件 → 定解问题；无量纲化 → θ = f(X, Fo, Bi) 的通用解形式，并由 Bi 的大小决定后续采用集总参数法还是一维解析解。