4. 一维FDTD边界条件与总场散射场
一维FDTD把计算域截断在有限网格上，若截断处不处理，外向行波会在边界产生非物理反射，回传后污染整个场分布。因此本节要解决两个问题：如何让波“无反射地离开”计算域（吸收边界），以及如何干净地引入入射波并分离反射/透射波（总场/散射场，TF/SF）。最后用平面波照射介质板，把仿真得到的反射系数与透射系数同解析解对比，形成完整的验证闭环。
先约定参照与符号：一维问题沿 x 方向传播，电场只有 Ey 分量，磁场只有 Hz 分量；采用Yee元胞，Ey 位于整数节点 i，Hz 位于半整数节点 i+1/2。时间步进满足Courant条件 S=cΔt/Δx≤1，一维取 S=1 时数值色散最小。全文与图示均采用此约定。
吸收边界：Mur一阶与PML
Mur一阶吸收边界基于单向波方程近似，对左边界（i=0）与右边界（i=N）分别用相邻内点外推。以右边界为例，其更新式为：
E_y[N]^{n+1} = E_y[N-1]^{n} + (S-1)/(S+1) * (E_y[N-1]^{n+1} - E_y[N]^{n})它实现简单、内存开销为零，但对斜入射和大角度波吸收较差，且在一维正入射时理论上可做到近乎无反射，因此非常适合作为一维入门验证。实际实现时需保存边界前一时刻值，注意更新顺序：先算内部场，再更新边界。
PML（完美匹配层）在计算域外侧增加若干层，通过坐标拉伸引入电导率/磁导率分布，使外向波在层内迅速衰减而不反射。一维实现常用分裂场形式或坐标拉伸形式，层内电导率按多项式（如 σ(x)=σmax(x/d)m，m取2~3）渐变，σmax 由理论反射系数（如 R0=10-6）反推。PML层数通常取8~16层，层数不足或电导率剖面过陡都会引入残余反射。相较Mur，PML对宽频、宽角度吸收更稳健，是工程仿真的主流选择。
总场/散射场（TF/SF）引入
若直接把入射波加在某个网格点上，入射波会向两侧同时传播，且边界反射会混入入射场，难以分离反射波与透射波。TF/SF的核心思想是：把计算域划分为总场区（含入射场+散射场）与散射场区（只含散射场），两者之间用一条虚拟的连接边界耦合。在连接边界上，通过对入射场解析式（如高斯脉冲或正弦连续波）在边界处的值进行加减，把入射波“注入”总场区，同时保证散射场区不出现入射场。
一维实现中，连接边界位于 i=ia 与 i=ib 两处。以左连接边界为例，在更新 Hz 时对总场区一侧加上入射磁场项，在更新 Ey 时对散射场区一侧减去入射电场项，符号必须与入射波传播方向严格一致。入射场通常取 Einc(i,n)=E0·f(nΔt−(i−i0)Δx/c)，其中 f 为高斯脉冲或正弦包络。这样，总场区内介质板产生的反射波与透射波自然进入散射场区，便于在两侧分别采样。
介质板算例：参数设置与实现要点
设计算域 N=400 个元胞，Δx=1 mm，介质板厚 d=20Δx，相对介电常数 εr=4（无耗，μr=1），置于 i=200~219。入射波取高斯脉冲，中心频率对应波长约 40Δx，保证脉冲频谱覆盖介质板工作频段。时间步 S=1，总步数取 1200 步，使脉冲完全通过介质板并离开总场区。两侧各设 8 层PML，连接边界设在 ia=60、ib=340，采样点分别位于散射场区 i=40 与 i=360。
实现时需注意三点：其一，介质板界面处 ε 取相邻元胞平均值（εeff=(εi+εi+1)/2），否则界面会产生数值反射；其二，TF/SF注入的入射场必须与解析式逐点一致，包括时间延迟与空间相位；其三，采样时需用入射脉冲峰值归一化，避免把源幅度当作1。对连续正弦波情形，则应在稳态后取一个周期做DFT提取复反射/透射系数，以保留相位信息。
结果判读与解析解对比
对正入射、无耗单层介质板，解析反射与透射系数为：
Γ = (η2 - η1)/(η2 + η1)，η = η0/√εr
τ = 2η2/(η2 + η1) · exp(-jβd) / (1 - Γ²·exp(-j2βd))其中 β=2π/λ·√εr。以 εr=4 为例，单界面反射系数幅值为 |(0.5−1)/(0.5+1)|≈0.333，考虑板内多次反射后总反射系数随频率振荡，透射系数幅值在0.667附近波动。仿真中把采样到的反射脉冲峰值除以入射脉冲峰值得到 |R|，透射同理得到 |T|，再与解析曲线逐频点比较。若两者在通带内偏差小于约2%，且 R²+T²≈1，说明吸收边界与TF/SF注入均正确；若反射系数明显偏大，优先排查PML层数/电导率剖面或连接边界符号；若透射波形出现台阶状畸变，多为介质界面参数平均处理不当。
综上，吸收边界负责“让波安静离开”，TF/SF负责“让入射波干净进入并分离散射波”，二者配合才能在一维FDTD中稳定提取反射与透射系数。把仿真结果与解析解逐频对比，并用真空算例做基线校验，是判断实现是否正确的最直接手段。