2. 电磁波传播的物理基础与数学描述

要理解电磁波如何在空间中传播，必须回到麦克斯韦方程组这一组基本方程。它把电场 E 与磁场 H 通过源（电荷密度 ρ、电流密度 J）以及彼此的时间变化耦合在一起。在无源、线性、各向同性、均匀的理想介质中，四个方程可以写成如下形式（采用时谐约定 e^{jωt}，全文统一使用该约定）：

∇·E = 0                     （无源区高斯定律）
∇·H = 0                     （磁通连续性）
∇×E = -jωμH                 （法拉第定律）
∇×H = (σ + jωε)E            （安培-麦克斯韦定律）

其中 ε 为介电常数、μ 为磁导率、σ 为电导率。对法拉第定律两边取旋度并代入安培定律，利用 ∇×(∇×E) = ∇(∇·E) - ∇²E 且无源区 ∇·E = 0，即可得到齐次矢量亥姆霍兹方程：

∇²E + k²E = 0,   k² = ω²με - jωμσ

这就是波动方程的时谐形式。复波数 k 同时携带了介质的储能与损耗信息：当 σ = 0 时 k = ω√(με) 为实数，波不衰减；当 σ ≠ 0 时 k 变为复数，其虚部对应衰减。为便于工程描述，通常引入传播常数 γ = α + jβ，其中 α 为衰减常数（Np/m），β 为相位常数（rad/m），且 γ² = -k²，即 γ = √(jωμ(σ + jωε))。在无耗介质中 α = 0、β = ω√(με)，相速 v_p = ω/β = 1/√(με)。

均匀平面波解与传播方向

设波沿 +z 方向传播，电场只有 x 分量，则均匀平面波解为：

E(z) = E₀ e^{-γz} x̂ = E₀ e^{-αz} e^{-jβz} x̂
H(z) = (1/η) ẑ × E(z),   η = √(jωμ/(σ + jωε))

这里 η 为波阻抗，无耗介质中 η = √(μ/ε) 为实数。关键结论是：E、H 与传播方向 ẑ 三者两两垂直，且 E×H 指向功率流动方向（坡印廷矢量）。这一正交关系是后面用 Python 画矢量图时判断图形是否正确的最直接依据。

极化：端点轨迹的形状

当电场同时存在 x、y 两个分量且二者有相位差 δ 时，合成电场矢量端点随时间在横截面上描出椭圆（一般情形）、圆（δ = ±90° 且幅度相等）或直线（δ = 0 或 180°）。工程上常用轴比 AR = 长轴/短轴 描述圆极化纯度，AR = 1 为理想圆极化，AR → ∞ 退化为线极化。极化是天线、卫星通信与雷达中的核心参数，也是矢量图中最直观可观察的现象。

用 Python 绘制 E、H 矢量图

下面用 NumPy 与 Matplotlib 绘制沿 +z 传播的均匀平面波。示例取无耗介质 ε_r = 4、μ_r = 1、频率 f = 1 GHz，则 β = ω√(με) ≈ 41.9 rad/m，波长 λ = 2π/β ≈ 0.15 m。为便于观察，图中只画若干采样点上的矢量箭头，并用颜色区分 E 与 H。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f = 1e9
eps0, mu0 = 8.854e-12, 4*np.pi*1e-7
eps, mu = 4*eps0, mu0
omega = 2*np.pi*f
beta = omega*np.sqrt(mu*eps)      # ≈ 41.9 rad/m
eta = np.sqrt(mu/eps)             # ≈ 188.4 Ω

z = np.linspace(0, 0.30, 200)     # 0~2λ
t = 0.0
E0 = 1.0
Ex = E0*np.cos(omega*t - beta*z)
Hy = Ex/eta                       # H 沿 +y，与 E、z 正交

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
step = 8
for i in range(0, len(z), step):
    ax.quiver(z[i], 0, 0, 0, Ex[i], 0, color='tab:blue', arrow_length_ratio=0.3)
    ax.quiver(z[i], 0, 0, 0, 0, Hy[i]*eta, color='tab:orange', arrow_length_ratio=0.3)
ax.set_xlabel('z (m)'); ax.set_ylabel('y'); ax.set_zlabel('E / ηH')
ax.set_title('均匀平面波 E、H 矢量（t=0）')
plt.show()

运行后应看到：蓝色箭头沿 x 方向按余弦规律起伏，橙色箭头沿 y 方向同步起伏，两者在空间上相位相同（无耗介质中 E 与 H 同相），且都垂直于 z 轴。若把 beta 改为两倍（相当于频率加倍或介电常数变为 4 倍），箭头起伏的疏密会明显变化——这正是波数与频率关系的直观体现：β ∝ f，频率越高，单位长度内相位变化越快、波长越短。

波数与频率的关系

在无耗介质中 β 与 ω 严格成正比，色散关系是一条过原点的直线，相速为常数。但在有耗介质或波导中，β 与 ω 不再线性：有耗介质里 σ 使 β 略偏离线性并伴随 α 增大；波导中存在截止频率，低于截止频率时 β 变为虚数、波迅速衰减。因此“观察波数与频率的关系”实际上是在检验介质的色散特性。仿真时可扫描一组频率，记录每个频率下的 β，再绘制 β–f 曲线：无耗介质应得到直线，有耗介质则出现轻微弯曲，据此可反推介质的等效参数。

把上述矢量图与 β–f 扫描结合起来，就构成了本节最核心的验证闭环：先用解析式算出 β 与 η，再用矢量图检查正交关系与传播方向，最后通过改变频率观察空间周期的缩放来确认波数计算正确。这三步都不依赖昂贵的全波仿真软件，却能把麦克斯韦方程组、波动方程与均匀平面波解之间的逻辑链条完整走通，为后续的数值方法打下物理直觉基础。