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非线性系统分岔分析与计算

共计 30 章节
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01
课程导入与分岔现象初识
通过工程与物理中的典型分岔实例（如屈… · 颤振 · 双稳态电路）引出非线性系统分岔分析的…
课程导入分岔现象初识
02
非线性系统建模与状态空间表示
从实际对象（如单摆 · 电路 · 化学反应器）出发
非线性系统建模状态空间表示
03
平衡点稳定性与线性化分析
针对具体非线性系统 · 计算平衡点 · 利用雅可比矩阵特征值判断稳定性
平衡点稳定性线性化分析
04
一维系统的分岔类型与计算
以一维非线性方程为例 · 推导鞍结分岔 · 跨临界分岔
一维系统的分岔类…计算
05
二维系统的分岔与极限环
针对二维系统（如捕食者-被捕食者模型 · 范德波尔振子） · 分析霍普夫分岔的发生条件
二维系统的分岔极限环
06
分岔的数值延拓方法基础
介绍延拓法的基本思想 · 针对简单非线性方程实现伪弧长延拓算法 · 追踪平衡点分支并识别分岔点
分岔的数值延拓方…介绍延拓法的基本…
07
延拓法在工程系统中的应用
将延拓法应用于实际工程模型（如电力系… · 结构屈曲） · 计算平衡解分支
延拓法工程系统
08
周期轨道与庞加莱映射
针对周期受迫系统或自治振子 · 构造庞加莱映射 · 将周期轨道问题转化为映射的不动点问题
周期轨道庞加莱映射
09
周期轨道的延拓与分岔
实现周期轨道延拓算法（打靶法或配点法… · 追踪周期解分支 · 识别倍周期分岔
周期轨道的延拓分岔
10
倍周期分岔与混沌入门
以逻辑斯蒂映射和受迫振子为例 · 计算倍周期分岔序列 · 观察混沌现象
倍周期分岔混沌入门
11
同宿与异宿分岔的计算
针对具体系统（如达芬振子） · 计算同宿轨道和异宿轨道 · 分析同宿分岔对系统全局动力学的影响
同宿异宿分岔的计算
12
高维系统的分岔分析
以三阶或更高维非线性系统（如洛伦兹系… · 耦合振子）为例 · 计算平衡点分岔
高维系统的分岔分…以三阶或更高维非…
13
中心流形与规范形理论
针对高维系统在分岔点附近的降维问题 · 应用中心流形定理和规范形理论 · 简化分岔分析
心流形规范形理论
14
分岔分析的软件工具实践
使用MATLAB/Python中的延… · AUTO · PyDSTool）对实际非线性系统进…
分岔分析的软件工…MATLAB/Pytho…
15
工程案例
结构屈曲与失稳分析 · 建立非线性屈曲模型 · 利用延拓法计算屈曲载荷和分岔路径
工程案例结构屈曲
16
工程案例
电力系统电压崩溃分岔分析 · 计算负荷增加时的鞍结分岔点 · 评估电压稳定裕度
工程案例电力系统电压崩溃…
17
工程案例
化学反应器多稳态与分岔 · 计算平衡点分支 · 分析参数变化导致的多稳态和振荡分岔
工程案例化学反应器多稳态
18
工程案例
飞行器机翼颤振分岔分析 · 计算颤振临界速度（霍普夫分岔点） · 分析非线性气动力对分岔类型和后颤振行…
工程案例飞行器机翼颤振分…
19
工程案例
神经元模型的分岔与放电模式 · 计算平衡点分岔和周期轨道分岔 · 解释神经元从静息到放电的转迁机制
工程案例神经元模型的分岔
20
时滞系统的分岔计算
针对时滞微分方程（如时滞反馈控制系统… · 介绍特征方程根的数值求解方法 · 计算霍普夫分岔点
时滞系统的分岔计…针对时滞微分方程
21
随机扰动下的分岔分析
考虑噪声对分岔的影响 · 介绍随机分岔的基本概念 · 通过数值模拟（如蒙特卡洛方法）观察噪…
随机扰动下的分岔…考虑噪声对分岔的…
22
分岔控制与反控制
针对实际系统（如机械振动系统） · 设计控制律延迟或消除分岔 · 或利用分岔实现期望行为
分岔控制反控制
23
全局分岔与吸引子共存
以多稳态系统为例 · 计算吸引子及其吸引域 · 分析全局分岔（如边界激变）对系统安全…
全局分岔吸引子共存
24
分岔分析的实验验证方法
介绍如何设计实验（如电路实验 · 机械实验）验证分岔理论预测 · 包括数据采集
分岔分析的实验验…介绍如何设计实验
25
分岔分析在参数辨识与优化中的应用
结合实验或仿真数据 · 利用分岔分析反推系统参数 · 或优化设计参数以避免有害分岔
分岔分析参数辨识
26
高维延拓与大规模系统计算技巧
针对高维非线性系统 · 讨论延拓法的计算效率问题 · 介绍稀疏矩阵技术
高维延拓大规模系统计算技…
27
分岔分析的可靠性验证与误差估计
讨论数值延拓和分岔计算的误差来源 · 介绍步长控制 · 误差估计和结果验证方法
分岔分析的可靠性…误差估计
28
综合实战
从实际对象到分岔分析报告 · 生物种群模型）为对象 · 完成建模
综合实战从实际对象到分岔…
29
前沿专题
非光滑系统与碰撞分岔 · 碰撞振子）的分岔特点 · 计算碰撞分岔点
前沿专题非光滑系统
30
课程总结与拓展
回顾课程核心内容 · 总结分岔分析与计算的一般流程 · 讨论分岔理论在交叉学科中的拓展应用
课程总结拓展