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刚性微分方程识别与算法选型

共计 30 章节
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01
课程导入与刚性概念建立
从物理 · 化学 · 生物等实际系统出发
课程导入刚性概念建立
02
刚性现象直观认知
通过典型刚性方程（如Robertso… · Van der Pol方程）的数值实… · 观察解的快慢变化与数值方法的稳定性表…
刚性现象直观认知Robertso
03
刚性数学特征剖析
讲解刚性比 · 特征值分布 · 雅可比矩阵条件数等数学指标
刚性数学特征剖析讲解刚性比
04
刚性识别指标与判定方法
介绍基于特征值 · 雅可比矩阵 · 时间尺度分离等识别准则
刚性识别指标判定方法
05
数值稳定性基础
回顾绝对稳定性 · A稳定性 · L稳定性等概念
数值稳定性基础回顾绝对稳定性
06
显式方法的稳定性限制
分析显式Euler · Runge-Kutta方法的稳定域与… · 揭示其处理刚性问题的困难
显式方法的稳定性…Euler
07
隐式方法的基本思想
介绍隐式Euler · 梯形公式等隐式格式的构造与稳定性优势 · 理解隐式方法为何适合刚性问题
隐式方法的基本思…Euler
08
刚性算法分类与选型框架
梳理常见刚性求解器（如BDF · Radau · Rosenbrock）的特点
刚性算法分类选型框架
09
BDF方法原理与实现
深入讲解向后差分公式的构造 · 变阶变步长策略 · 误差估计与Newton迭代求解
BDF方法原理
10
Radau配置方法
介绍Radau IIA方法的配置格式 · 阶条件 · L稳定性及在DAE问题中的扩展
Radau配置方法
11
Rosenbrock方法
讲解Rosenbrock方法通过线性… · 分析其W变换 · 阶条件与实现细节
Rosenbrock讲解
12
隐式Runge-Kutta方法
概述隐式Runge-Kutta方法的… · 稳定性函数与辛性质 · 重点讨论Gauss
Runge-Kutta隐式
13
线性多步法在刚性问题中的应用
对比BDF与其他线性多步法 · 分析其稳定性区域与阶数限制 · 讨论启动与步长控制策略
线性多步法刚性问题
14
Newton迭代与雅可比矩阵处理
讲解隐式方法中Newton迭代的收敛… · 雅可比矩阵的计算与近似（有限差分 · 自动微分）
Newton迭代
15
稀疏性与大规模问题
针对大规模刚性系统 · 介绍稀疏雅可比矩阵的存储与分解技术 · 讨论迭代求解器（如GMRES）与预条…
稀疏性大规模问题
16
误差估计与步长控制
分析局部误差估计方法（嵌入对 · Richardson外推） · 讲解自适应步长控制策略及其对刚性问题…
误差估计步长控制
17
事件处理与不连续性问题
讨论刚性系统中事件定位 · 不连续切换的处理方法 · 以及算法选型时对事件检测的支持需求
事件处理不连续性问题
18
微分代数方程（DAE）的刚性求解
介绍DAE的指标概念 · 刚性DAE的求解难点 · 以及BDF
DAE微分代数方程
19
算法选型实战
Robertson化学动力学问题 · 对比不同刚性求解器的性能 · 精度与效率
算法选型实战Robertson
20
算法选型实战
Van der Pol振子 · 测试显式与隐式方法的表现 · 总结选型依据
算法选型实战Van
21
算法选型实战
生物种群与药代动力学模型 · 识别刚性并选择合适的求解器 · 完成模拟与结果分析
算法选型实战生物种群
22
算法选型实战
电路仿真中的刚性系统 · 选用适合的刚性算法进行瞬态仿真 · 讨论精度与稳定性权衡
算法选型实战电路仿真
23
算法选型实战
反应扩散方程的空间离散 · 比较隐式方法与显式方法的效率 · 实践算法选型流程
算法选型实战反应扩散方程的空…
24
算法选型实战
多物理场耦合问题 · 讨论分区求解与整体求解的策略 · 以及相应算法选型
算法选型实战多物理场耦合问题
25
算法性能评估与基准测试
设计刚性求解器的性能评估指标（精度 · 效率 · 鲁棒性）
算法性能评估基准测试
26
算法选型中的参数调优
讨论容差 · 安全因子 · 最大步长等参数对求解性能的影响
算法选型参数调优
27
常见刚性求解器软件与工具
介绍MATLAB · Python（SciPy） · Julia等环境中的刚性求解器（如o…
常见刚性求解器软…工具
28
刚性求解的失败模式与调试
分析求解失败常见原因（迭代不收敛 · 步长过小 · 误差估计失败）
刚性求解的失败模…调试
29
混合方法与算法切换策略
探讨显式-隐式混合方法 · 自动切换策略 · 以及基于问题特征的动态算法选择
混合方法算法切换策略
30
综合项目
从识别到选型的完整案例 · 完成刚性识别 · 算法选型
综合项目从识别到选型的完…