3. 二维线性系统相平面分析

相平面分析的核心任务，是把二阶线性系统的运动规律从“时间响应曲线”转换到“状态平面上的几何轨迹”。考虑一般形式的二维线性定常系统：

ẋ₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂
ẋ₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂

写成矩阵形式为 ẋ = Ax，其中 A 为 2×2 实常数矩阵。相平面就是以 x₁ 为横轴、x₂ 为纵轴的平面，系统的每一个状态 (x₁, x₂) 对应平面上一点，随时间演化形成一条相轨迹。由于线性系统满足解的存在唯一性，除平衡点外相轨迹互不相交，这为绘制相图提供了基本依据。

特征值与相轨迹形态的对应关系

设 A 的特征值为 λ₁、λ₂，由特征方程 det(λI − A) = λ² − (tr A)λ + det A = 0 求得。记迹 p = tr A = a₁₁ + a₂₂，行列式 q = det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁，则特征值由 p、q 完全决定：

λ₁,₂ = (p ± √(p² − 4q)) / 2

判别式 Δ = p² − 4q 的符号决定特征值是实根还是共轭复根，而 p、q 的符号决定实部的正负，从而决定轨迹是收敛、发散还是闭合。这一“参数—特征值—相图形态”的链条，是本节最值得用图来呈现的关系。

四类典型相图的形态特征

稳定节点：特征值为两个负实根（或重根）。所有相轨迹最终沿某一特征方向趋于原点，且除个别直线轨迹外，轨迹在接近原点时与“慢特征方向”相切。工程上对应过阻尼系统，例如 RLC 串联电路在电阻较大时的零输入响应，状态变量单调衰减、无振荡。

鞍点：特征值一正一负，q < 0。原点本身不稳定，存在两条“稳定流形”（沿负特征值方向进入原点）和两条“不稳定流形”（沿正特征值方向离开原点），其余轨迹先靠近再远离，形如马鞍。鞍点在非线性系统中常作为分界，区分不同吸引域。

稳定焦点：特征值为共轭复根且实部为负，p < 0、q > 0、Δ < 0。轨迹呈螺旋线向内卷缩，对应欠阻尼系统的衰减振荡。螺旋的旋转方向由 a₁₂ 或 a₂₁ 的符号决定，收敛快慢由实部 |Re λ| 决定。

中心：特征值为纯虚根，p = 0、q > 0。轨迹为围绕原点的闭合椭圆族，系统处于临界稳定，对应无阻尼振荡。实际系统中严格中心极少，通常由保守系统（如无摩擦单摆的小角度模型）近似出现。

一个可手算的示例

取 A = [[0, 1], [−2, −3]]，则 p = −3，q = 2，Δ = 9 − 8 = 1 > 0，特征值 λ = (−3 ± 1)/2，即 λ₁ = −1、λ₂ = −2。两个负实根，故为稳定节点。特征向量可由 (A − λI)v = 0 求得：λ₁ = −1 时 v₁ = (1, −1)ᵀ；λ₂ = −2 时 v₂ = (1, −2)ᵀ。在相平面上，轨迹最终沿 λ₁ 对应的慢方向 (1, −1) 趋于原点。若初始状态取 (2, 0)，可数值积分观察轨迹先被快方向“拉拢”，再沿慢方向滑入原点，这正是节点相图的典型行为。

从特征值到相图的绘制流程

实际绘制时可按以下顺序推进：第一步，由 A 计算 p、q、Δ，确定相图类型；第二步，实根情形求特征向量，在图上标出两条特征直线，复根情形确定旋转方向；第三步，选取若干代表性初始点（如坐标轴上的点、四个象限内的点），用等倾线法或数值积分得到轨迹走向；第四步，检查轨迹是否满足“除平衡点外不相交”和“关于原点对称”的性质，作为绘图正确性的自检。对于含参数的系统，还可以在 (p, q) 参数平面上标出工作点，直观看出参数变化时相图类型如何迁移——这正是上方 SVG 左侧参数分区图的价值所在。

需要强调的是，相图形态只由矩阵 A 决定，与初始条件无关；初始条件只决定轨迹落在哪一条曲线上。理解这一点，就能把“解微分方程”转化为“读几何图形”，为后续非线性系统的相平面分析打下基础。