2. 一维系统相图绘制

一维自治系统是相平面方法最基础也最清晰的入口。所谓一维自治系统，指状态只有一个变量 x，且微分方程右端不显含时间 t，标准形式为

ẋ = f(x)， x ∈ ℝ

由于右端只与 x 有关，系统的“速度”完全由当前位置决定：f(x) > 0 时状态向右运动，f(x) < 0 时向左运动，f(x) = 0 时状态静止。一维相图正是把这条“速度场”画在一条数轴上，用箭头表示运动方向，用实心/空心圆点区分稳定与不稳定平衡点。掌握它，是理解高维相平面轨迹的基础。

第一步：求平衡点

平衡点（也称奇点、不动点）是满足 f(x) = 0 的点。求解过程就是解一个一元方程。以经典的人口/资源模型为例：

ẋ = f(x) = x(1 - x) - h，  取 h = 0.2
令 f(x) = 0：
  x - x² - 0.2 = 0
  x² - x + 0.2 = 0
  x = [1 ± √(1 - 0.8)] / 2 = [1 ± 0.4472] / 2
得 x₁* ≈ 0.2764，  x₂* ≈ 0.7236

这两个平衡点把整个状态轴分成三段：(-∞, 0.2764)、(0.2764, 0.7236)、(0.7236, +∞)。每一段内 f(x) 的符号恒定，因此运动方向也恒定——这正是相图能“一眼看清全局”的原因。

第二步：判定稳定性

一维系统稳定性判定有三种常用手段，应结合使用、互相验证。

（1）线性化判据。在平衡点 x* 处计算导数 f′(x*)。若 f′(x*) < 0，则该点渐近稳定（吸引）；若 f′(x*) > 0，则不稳定（排斥）；若 f′(x*) = 0，线性化失效，需用下一法。对本例：

f'(x) = 1 - 2x
f'(0.2764) = 1 - 0.5528 = +0.4472  → 不稳定
f'(0.7236) = 1 - 1.4472 = -0.4472  → 渐近稳定

（2）符号分析法（相线法）。直接看 f(x) 在各区间内的正负。取测试点 x = 0：f(0) = -0.2 < 0，向左；取 x = 0.5：f(0.5) = 0.25 - 0.2 = +0.05 > 0，向右；取 x = 1：f(1) = -0.2 < 0，向左。于是箭头方向为：左段向左、中段向右、右段向左。两侧箭头都指向 0.7236，说明它是吸引子；两侧箭头都背离 0.2764，说明它是排斥子。

（3）势函数视角。若 f(x) = -V′(x)，则系统沿势能下降方向运动，稳定点对应势能极小值，不稳定点对应极大值。这为符号分析提供了直观的物理图像。

第三步：绘制相图

绘制一维相图的标准流程是：画一条水平数轴 → 标出所有平衡点 → 在每个区间取测试点判断 f 的符号 → 在区间内画方向箭头 → 用实心圆表示稳定点、空心圆表示不稳定点。下图给出了本例的完整相图，并同时画出 f(x) 曲线作为对照，使“零点位置”与“箭头方向”的对应关系一目了然。

读图要点：上半部分抛物线在 x 轴上方对应 f > 0（向右），下方对应 f < 0（向左）；下半部分相线上的箭头方向与之一一对应。可以看到，无论初始状态落在 0.2764 右侧的哪个位置，最终都会单调趋向 0.7236；而落在左侧的状态会一路向左发散，不会回到 0.2764。因此 0.7236 的吸引域是 (0.2764, +∞)，0.2764 本身是吸引域的边界。

从相图读出定量信息

相图不仅给出定性方向，还能辅助估算动态过程。由于 ẋ = f(x)，分离变量可得

t = ∫ dx / f(x)

在相图上，f(x) 越小（曲线越靠近 x 轴），状态变化越慢；在平衡点附近 f → 0，因此趋近稳定点的过程会越来越慢，呈现典型的“渐近爬行”。这也解释了为什么稳定点附近箭头虽然指向它，但轨迹密度会增大——系统在那里停留时间更长。若需要定量时间，可对上述积分做数值求解；若只需判断快慢趋势，观察 f 曲线到 x 轴的距离即可。

实操检查清单

绘制任意一维自治系统相图时，可按以下顺序自查，避免遗漏：

• 方程是否已写成 ẋ = f(x) 的自治标准形式，右端是否确实不含 t；
• 平衡点是否全部求出（注意重根、超越方程需数值求根）；
• 每个区间是否都取了测试点并确认 f 的符号；
• 是否用 f′(x*) 与符号分析双重验证了稳定性；
• 稳定点画实心、不稳定点画空心，箭头方向与 f 符号严格一致；
• 是否标出了吸引域边界，并说明边界点本身的归属。

把上述流程走熟之后，一维相图可以在一两分钟内完成。它虽然简单，却完整包含了相平面分析的核心思想：用零集找平衡、用符号定方向、用汇聚/发散判稳定。后续二维相平面中的零倾线、向量场与轨迹，都是这一思路的自然推广。