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常微分方程建模与数值求解入门

共计 30 章节
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01
课程导入与全景认识
常微分方程的定义 · 阶数与线性/非线性分类 · 建模与数值求解的整体流程
课程导入全景认识
02
从实际问题到微分方程
变化率 · 微元法与守恒律的建模思想 · 人口增长
从实际问题到微分…变化率
03
一阶方程初等解法回顾
可分离变量 · 一阶线性方程与积分因子法 · 齐次方程与适当变量代换
一阶方程初等解法…可分离变量
04
二阶线性方程与振动模型
弹簧-质量系统与RLC电路的建模 · 特征方程与通解结构 · 阻尼与受迫振动中的参数影响
二阶线性方程振动模型
05
微分方程组与相空间初步
将高阶方程化为一阶方程组 · predator-prey 与竞争模… · 相平面与轨线的直观认识
微分方程组相空间初步
06
数值求解的基本思想
离散化与差商近似 · 欧拉法的推导与几何解释 · 局部截断误差与整体误差的概念
数值求解的基本思…离散化
07
Runge-Kutta方法
二阶与四阶Runge-Kutta公式… · Butcher表与阶条件简介 · 经典RK4的算法流程与精度验证
Runge-Kutta二阶
08
线性多步法与稳定性
Adams-Bashforth与Ad… · 绝对稳定性与刚性问题的初步识别 · 步长选择与稳定性区域
线性多步法稳定性
09
误差控制与自适应步长
局部误差估计与嵌入式RK对 · 自适应步长策略的实现 · 误差容限对计算效率与精度的影响实验
误差控制自适应步长
10
常微分方程数值求解的编程实现
从零实现欧拉法与RK4 · 向量化与函数句柄设计 · 结果可视化与误差曲线绘制
常微分方程数值求…RK4
11
使用科学计算库求解ODE
SciPy solve_ivp 与… · 事件检测与输出控制 · 与自编算法的结果对比
ODE使用科学计算库求…
12
初值问题实战
抛体运动与空气阻力 · 数值求解并与无阻力解析解对比 · 分析阻力系数对射程与轨迹的影响
初值问题实战抛体运动
13
初值问题实战
传染病SIR模型 · 数值模拟疫情曲线 · 基本再生数R0对峰值与持续时间的影响…
初值问题实战SIR
14
初值问题实战
种群动力学与Lotka-Volter… · 相图绘制与周期轨线观察 · 守恒量与稳定性讨论
初值问题实战Lotka-Volter
15
边值问题与打靶法
边值问题的标准形式 · 打靶法将BVP转化为IVP的求解流程 · 线性与非线性边值条件的处理与收敛性
边值问题打靶法
16
有限差分法求解边值问题
网格划分与差分近似 · 二阶边值问题的差分方程组建立 · 边界条件处理与线性系统求解
有限差分法求解边…网格划分
17
常微分方程系统的刚性问题
刚性现象的识别与来源 · 显式方法的步长限制 · 隐式欧拉与梯形法的稳定性优势
常微分方程系统的…刚性现象的识别
18
隐式方法与非线性方程求解
隐式Runge-Kutta与BDF方… · 牛顿迭代在隐式步进中的应用 · 刚性化学动力学案例的数值实验
隐式方法非线性方程求解
19
事件处理与混合系统
事件函数与过零检测 · 碰撞 · 开关与阈值触发问题的建模
事件处理混合系统
20
延迟微分方程初步
延迟项的出现与建模意义 · 方法 of steps 与显式RK的… · 简单延迟Logistic模型的数值求…
延迟微分方程初步延迟项的出现
21
参数估计与模型校准
最小二乘与最大似然思想 · 使用数值优化校准ODE参数 · 以SIR模型或振动模型为例的完整校准…
参数估计模型校准
22
灵敏度分析与不确定性量化
参数灵敏度指标与有限差分近似 · 蒙特卡洛采样评估输出不确定性 · 结果的可视化与解释
灵敏度分析不确定性量化
23
模型验证与结果可信度
与解析解 · 实验数据及高精度参考解对比 · 收敛性测试与网格/步长无关性验证
模型验证结果可信度
24
综合项目一
机械振动与阻尼识别 · 数值求解并拟合阻尼参数 · 评估模型预测能力与改进方向
综合项目一机械振动
25
综合项目二
传染病干预策略模拟 · 数值比较不同干预方案的疫情曲线 · 撰写简要分析报告
综合项目二传染病干预策略模…
26
综合项目三
生态系统多物种模拟 · 数值求解并分析长期行为 · 讨论参数变化对系统稳定性的影响
综合项目三生态系统多物种模…
27
数值求解中的常见陷阱与调试
步长过大导致的失真 · 刚性误判 · 事件漏检与单位不一致
数值求解常见陷阱
28
性能优化与大规模问题
向量化 · 稀疏矩阵与并行计算在ODE求解中的应… · 大规模参数扫描的批处理技巧与效率对比
性能优化大规模问题
29
从ODE到偏微分方程
直线法与空间离散化将PDE转化为OD… · 热传导方程与反应扩散方程的数值求解入…
ODE到偏微分方程
30
课程总结与进阶方向
知识体系回顾 · 建模与数值求解的最佳实践 · 向随机微分方程
课程总结进阶方向