4. 瞬态响应与全响应求解

在简谐激励 \(F(t)=F_0\sin\omega t\) 作用下，单自由度有阻尼系统的运动方程为 \(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\sin\omega t\)。它的通解由两部分叠加而成：齐次解 \(x_h(t)\) 与特解 \(x_p(t)\)。齐次解对应自由振动，反映系统对初始条件的“记忆”；特解对应稳态振动，只由激励频率与系统参数决定。二者相加即全响应，而待定系数必须由初始位移 \(x(0)\) 与初始速度 \(\dot{x}(0)\) 唯一确定。

齐次解的形式与衰减特征

先约定坐标：取静平衡位置为 \(x=0\)，向下为正，速度 \(\dot{x}\) 与位移同向为正。引入 \(\omega_n=\sqrt{k/m}\)、\(\zeta=c/(2\sqrt{km})\)，欠阻尼（\(0<\zeta<1\)）时齐次解为

x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\left(C_1\cos\omega_d t+C_2\sin\omega_d t\right),
\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

其中 \(e^{-\zeta\omega_n t}\) 是衰减包络，\(\omega_d\) 是有阻尼固有频率。\(\zeta\) 越大，包络下降越快，瞬态消失越早；临界阻尼 \(\zeta=1\) 与过阻尼 \(\zeta>1\) 时齐次解不再振荡，而呈两个衰减指数（或重根 \(e^{-\omega_n t}\)）形式。工程上常以包络衰减到初值约 2%~5% 的时间作为瞬态持续时间，近似有 \(t_s\approx 4/(\zeta\omega_n)\)（2% 准则）。

特解与稳态幅值、相位

设 \(x_p(t)=X\sin(\omega t-\varphi)\)，代入方程并比较 \(\sin\)、\(\cos\) 系数，可得

X = (F_0/k) / sqrt((1-r^2)^2 + (2ζr)^2),  r = ω/ω_n
φ = arctan( 2ζr / (1-r^2) )

注意 \(F_0/k\) 是静位移，\(X\) 是稳态振幅，\(\varphi\) 是位移滞后于激励的相位。当 \(r\approx1\) 且 \(\zeta\) 较小时，\(X\) 显著放大，这就是共振区；此时瞬态与稳态的叠加也最明显。

用初始条件确定待定系数

全响应写成 \(x(t)=x_h(t)+x_p(t)\)。把 \(t=0\) 代入位移与速度两式：

x(0) = C1 + X·sin(-φ) = C1 - X·sinφ
ẋ(0) = -ζω_n·C1 + ω_d·C2 + X·ω·cosφ

由此解出

C1 = x(0) + X·sinφ
C2 = [ ẋ(0) + ζω_n·C1 - X·ω·cosφ ] / ω_d

这就是“初始条件定系数”的标准做法：先算稳态量 \(X,\varphi\)，再代回求 \(C_1,C_2\)。若初始条件恰为 \(x(0)=X\sin(-\varphi)\)、\(\dot{x}(0)=X\omega\cos\varphi\)，则 \(C_1=C_2=0\)，系统一开始就处于稳态，没有瞬态过程——这是检验公式的一个好用例。

仿真示例：瞬态与稳态的叠加

取一组教学示例参数（非实测）：\(m=1\,\text{kg}\)、\(k=100\,\text{N/m}\)、\(\zeta=0.05\)、\(F_0=10\,\text{N}\)、\(\omega=9\,\text{rad/s}\)，初始条件 \(x(0)=0\)、\(\dot{x}(0)=0\)。则 \(\omega_n=10\,\text{rad/s}\)、\(\omega_d\approx9.987\,\text{rad/s}\)、\(r=0.9\)。由公式得 \(X\approx0.526\,\text{m}\)、\(\varphi\approx0.747\,\text{rad}\)，进而 \(C_1\approx0.357\)、\(C_2\approx-0.021\)。用四阶龙格–库塔法以 \(h=0.001\,\text{s}\) 步长积分，可复现下图所示的“拍”式叠加：瞬态以 \(\omega_d\) 振荡并逐渐被包络压平，最终只剩 \(\omega=9\,\text{rad/s}\) 的稳态正弦。

从图中可读出三点：第一，起始段位移并不立即跟随稳态正弦，而是被齐次解“拉偏”，出现明显的拍频包络；第二，包络按 \(e^{-\zeta\omega_n t}\) 衰减，本例 \(\zeta\omega_n=0.5\,\text{s}^{-1}\)，约 \(8\,\text{s}\) 后瞬态幅值降到初值的 2% 左右；第三，进入稳态后曲线与 \(x_p\) 几乎重合，说明瞬态已被“遗忘”。

阻尼对瞬态持续时间的影响

瞬态持续时间主要由时间常数 \(\tau=1/(\zeta\omega_n)\) 决定。保持 \(\omega_n=10\,\text{rad/s}\) 不变，把 \(\zeta\) 从 0.05 提高到 0.2，则 \(\tau\) 从 2 s 降到 0.5 s，2% 准则下的 \(t_s\) 从约 8 s 缩短到约 2 s；若继续增大到临界阻尼，系统不再振荡，但“回到稳态”的过程反而可能因过阻尼而变慢。因此工程上常把阻尼比选在 0.1~0.7 之间，在抑制瞬态与避免响应迟钝之间折中。对精密设备隔振，可适当增大阻尼以缩短启动瞬态；对需要保留一定振动信息的传感器，则不宜过大。

小结：求解全响应的关键路径是“先求稳态 \(X,\varphi\)，再写齐次解，最后用 \(x(0),\dot{x}(0)\) 定 \(C_1,C_2\)”。仿真时建议同时画出全响应、稳态分量与衰减包络三条曲线，这样既能验证系数是否正确，也能直观看到阻尼如何缩短瞬态、让系统更快进入稳态。