4. 状态分类与可达性
在建立转移矩阵之后，真正决定一条马尔可夫链长期命运的，并不是某个具体的转移概率数值，而是状态之间的可达关系与连通结构。本节把状态空间看作一张有向图：状态是顶点，正概率转移是带方向的边。许多关于“会不会回来”“能不能离开”“长期是否稳定”的问题，都可以先在这张图上判断，再回到矩阵上计算。
可达、互通与连通类
若存在一条从状态 i 到状态 j 的路径，路径上每一步的转移概率都大于零，则称 j 从 i 可达，记作 i → j。若 i 与 j 互相可达，则称二者互通，记作 i ↔ j。互通是一种等价关系，它把状态空间划分为若干个互通类（常返类或瞬态类）。判断可达性最直接的方法是看转移矩阵的幂：若存在 n ≥ 1 使 (Pn)ij > 0，则 i → j。实际建模时，更常用的是对转移图做深度优先或广度优先搜索，从每个状态出发标记能到达的顶点，再检查反向是否也成立。
需要注意，可达性只关心“是否存在正概率路径”，与路径长度、概率大小无关。因此判断时应先把矩阵中所有大于零的元素视为边，忽略具体数值；只有当结构确定后，才用数值去计算命中时间、稳态分布等量。
闭集、吸收态与不可约链
一个状态集合 C 若满足：从 C 中任一状态出发，都不可能一步转移到 C 之外的状态，则称 C 为闭集。只含一个状态的闭集称为吸收态，即 pii = 1。闭集刻画了“进去就出不来”的区域，是分析长期行为的关键边界。
若整条链的状态空间只有一个互通类，即所有状态两两互通，则称该链不可约。不可约链没有“陷阱式”的真子闭集，长期行为不会被某个局部区域截断。反之，若存在多个闭集，链最终会以概率 1 落入其中一个闭集，具体落入哪个由初始分布和瞬态部分的转移决定。这正是“吸收概率”问题的结构来源。
周期性与非周期性
对状态 i，考虑所有从 i 出发回到 i 的路径长度，它们的最大公约数称为 i 的周期 d(i)。若 d(i) = 1，称该状态非周期。在不可约链中，所有状态具有相同周期，因此可以统一说“链的周期”。周期为 d 的链，其状态会按模 d 的相位循环访问，例如 d = 2 时呈现奇偶交替，此时极限分布可能不存在，只有时间平均收敛。
判断非周期性的实用技巧：若存在某个状态 i 使 pii > 0（自环），且链不可约，则整条链非周期。更一般地，只要图中存在一个长度互素的环组合，周期即为 1。工程上常见的做法是检查是否存在自环或长度为 2、3 的环，若同时存在则基本可判定非周期。
常返与瞬态
从状态 i 出发，若以概率 1 最终返回 i，则 i 为常返态；若返回概率小于 1，则为瞬态。有限状态链中，常返态恰好构成闭互通类，瞬态则是那些“可能一去不返”的状态。进一步，若返回时间的期望有限，称正常返；期望无穷则为零常返。有限不可约链必为正常返，因此对有限链只需区分常返与瞬态即可。
判别方法同样基于图结构：在有限链中，状态 i 常返当且仅当从 i 可达的每个状态都能返回 i，即 i 所在的互通类是闭集。若 i 能到达某个无法返回的状态，则 i 为瞬态。这一判据把“返回概率”的计算转化为“闭集检查”，避免了无穷级数求和。
基于图论的判别流程
把上述概念串起来，可以得到一套可操作的判别流程。第一步，写出转移矩阵并标出所有正元素，画出有向图。第二步，求强连通分量：每个强连通分量内部状态两两互通，构成一个互通类。第三步，检查每个强连通分量是否有指向分量外的边；没有出边的即为闭集，有出边的为瞬态类。第四步，若全图只有一个强连通分量，则链不可约；否则可约。第五步，对不可约链检查周期：若存在自环或环长互素，则非周期；否则计算各环长的最大公约数。第六步，闭集内的状态为常返，其余为瞬态。
以一个四状态示例说明。设状态 {1,2,3,4}，转移关系为：1→2 概率 0.5、1→3 概率 0.5；2→1 概率 1；3→4 概率 1；4→3 概率 1。画图可见 {1,2} 构成一个闭互通类，{3,4} 构成另一个闭互通类，整条链可约且没有瞬态。两个类内部都是周期 2 的交替结构，因此极限分布不存在，但时间平均分布存在。若把 2→1 改为 2→2 概率 0.5、2→1 概率 0.5，则 {1,2} 出现自环，周期变为 1，该类的极限分布存在。
结构判别与数值计算的分工
图论判别回答的是“定性”问题：是否可约、是否常返、是否周期。它不能直接给出稳态分布的具体数值，但能提前告诉我们稳态分布是否存在、是否唯一、是否依赖初始分布。对于可约链，稳态分布不唯一，需要按闭集分别求解；对于周期链，需用时间平均代替极限；对于含瞬态的链，瞬态部分的概率会随时间衰减到零，长期质量集中在闭集上。先做结构判别、再做数值求解，可以避免在不存在极限的情况下盲目迭代，也能为求解器选择合适的初值和收敛判据。
掌握这套图论视角后，面对一个具体的转移矩阵，可以先在纸上画出状态图、圈出强连通分量、标出闭集与周期，再决定用极限分布、时间平均还是吸收概率来刻画长期行为。这种“先结构、后数值”的顺序，是马尔可夫链建模中稳定而高效的分析习惯。