4. 拟合优度检验概述

拟合优度检验要回答的问题很直接：我们手上这组样本数据，是否“足够像”某个理论分布？它的基本思想是构造一个能度量“样本与理论分布之间偏离程度”的统计量，再依据该统计量在“数据确实来自该分布”这一原假设下的抽样分布，判断当前偏离是否属于随机波动可以解释的范围。偏离小，没有理由拒绝原假设；偏离大到超过临界值，就认为样本与理论分布不相容。

需要强调的是，拟合优度检验的原假设通常是复合假设，例如“数据来自正态分布”，但均值与方差未知，需要先用样本估计。这带来一个关键后果：参数估计会消耗数据的自由度，检验统计量的分布随之改变。忽略这一点是实际应用中最常见的错误之一。

三类常用方法及其差异

卡方拟合优度检验先把数据分组，比较各组的实际频数 O_i 与理论频数 E_i，统计量为 χ² = Σ(O_i − E_i)² / E_i，自由度约为“组数 − 1 − 估计参数个数”。它适用于离散分布，也可用于连续分布的分组化处理。优点是直观、通用、对任何分布都能算；缺点是结果依赖分组方式，分组不同结论可能不同，且要求每组理论频数不宜过小（经验上不少于 5），对尾部差异不敏感。

K-S 检验（Kolmogorov-Smirnov）比较经验分布函数 F_n(x) 与理论分布函数 F(x) 的最大纵向距离 D = sup|F_n(x) − F(x)|。它不分组，保留了数据的完整信息，对分布的整体位置和形状差异较敏感。但标准 K-S 检验要求理论分布的参数完全已知；若参数由样本估计，必须使用修正的临界值（如 Lilliefors 检验），否则会严重偏保守、p 值偏大。此外 K-S 对尾部差异不够敏感，对离散分布也不适用。

A-D 检验（Anderson-Darling）是经验分布类检验的加权改进，统计量 A² 在两端赋予更大权重，因而对尾部偏离特别敏感，这恰好弥补了 K-S 的短板。它同样支持参数估计后的修正临界值，在正态性、Weibull、Logistic 等分布的检验中被广泛使用。代价是计算稍复杂，且不同分布、不同估计方式对应不同的临界值表，实现时必须选对版本。

如何对同一组数据同时做多种检验

实际工作中，单看一种检验容易得出片面结论。合理做法是：先明确原假设与参数估计方式，再并行运行多种检验，最后综合判断。下面以一组“某零件直径测量值”为例演示流程。示例数据为教学假设：共 50 个观测，样本均值 10.02 mm，样本标准差 0.15 mm，我们想检验其是否服从正态分布。

第一步，统一参数估计口径。三种检验都应使用同一组估计值（均值 10.02、标准差 0.15），避免因参数不同导致结论不可比。第二步，分别计算统计量与 p 值。卡方检验需先分组：按正态分布的分位数把数据切成 6 组，使每组理论频数约为 8.3，满足 E_i ≥ 5；自由度 = 6 − 1 − 2 = 3。K-S 与 A-D 则直接使用原始观测值排序后的经验分布。

# 教学示例（伪代码，参数为假设值）
x = 50 个直径观测值
mu, sigma = 10.02, 0.15          # 样本估计

# 卡方：6 组，自由度 3
chi2_stat, p_chi2 = chi2_gof(x, dist="norm", params=(mu, sigma), bins=6)

# K-S：参数由样本估计，使用 Lilliefors 修正
D_stat, p_ks = ks_test(x, dist="norm", estimated_params=True)

# A-D：正态分布专用临界值
A2_stat, p_ad = ad_test(x, dist="norm", estimated_params=True)

print(chi2_stat, p_chi2, D_stat, p_ks, A2_stat, p_ad)

假设运行后得到这样一组结果（示例数值，非实测）：χ² = 4.1，p = 0.25；D = 0.09，p = 0.42；A² = 0.48，p = 0.23。三个 p 值都明显大于 0.05，结论一致：没有足够证据拒绝正态性假设。若出现分歧，例如卡方 p = 0.30 而 A-D p = 0.03，则提示尾部存在偏离——这正是 A-D 的敏感点，应回到数据检查极端值、测量误差或混合分布的可能，而不是简单取“多数票”。

最后给出方法选择的实用口径：数据为离散或已分组，优先卡方；关注整体形状且参数已知，用 K-S；关注尾部、做正态性或可靠性分布检验，用 A-D；条件允许时三者并跑，以结论一致增强可信度，以分歧定位问题区域。