3. 常见概率分布及其计算

概率分布是随机模拟的“零件库”。做随机模拟时，我们很少从零构造随机性，而是先判断某个随机变量服从哪种分布，再用对应的参数生成样本、计算概率或求分位数。本节围绕五个最常用的分布展开：离散型的二项分布与泊松分布，连续型的均匀分布、指数分布与正态分布。重点不是背公式，而是搞清楚每个分布的参数含义、适用场景，以及如何用 Python 的 scipy.stats 完成“已知取值求概率”和“已知概率求取值”这两类计算。

离散分布：计次型随机变量

二项分布描述 n 次独立重复试验中“成功”的次数，记作 X ~ B(n, p)。它有两个参数：试验次数 n 和单次成功概率 p。典型场景是抛硬币、产品抽检合格数、点击广告后的转化人数。其概率质量函数为 P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)。在 Python 中，binom.pmf(k, n, p) 给出恰好 k 次的概率，binom.cdf(k, n, p) 给出不超过 k 次的累积概率。

泊松分布描述单位时间或单位空间内稀有事件发生的次数，记作 X ~ Poisson(λ)，只有一个参数 λ（平均发生次数）。它可看作 n 很大、p 很小时二项分布的极限，常用于呼叫中心来电数、网站每分钟访问量、放射性衰变计数。其概率质量函数为 P(X=k) = e^(-λ) λ^k / k!。对应函数是 poisson.pmf(k, mu) 与 poisson.cdf(k, mu)。

需要注意离散分布的一个重要细节：cdf(k) 计算的是 P(X ≤ k)，包含 k 本身。若要求 P(X ≥ 3)，应写成 1 - cdf(2) 而不是 1 - cdf(3)，这是初学者最容易出错的地方。

连续分布：区间型随机变量

均匀分布 U(a, b) 表示区间 [a, b] 内任意等长子区间被取到的概率相同，是最基础的“无偏好”随机源，也是随机数生成器的底层模型。uniform.cdf(x, a, b) 给出 P(X ≤ x)，当 x 落在区间内时结果就是 (x-a)/(b-a)。

指数分布 Exp(λ) 描述泊松过程中相邻两次事件的时间间隔，参数 λ 是事件发生率。它的一个重要性质是无记忆性：已经等待了多久，不影响还需等待多久的分布。常用于设备寿命、服务等待时间建模。其累积分布函数为 F(x) = 1 - e^(-λx)（x ≥ 0）。

正态分布 N(μ, σ²) 由均值 μ 和标准差 σ 决定，是中心极限定理的归宿，大量独立随机因素叠加后的结果近似正态。它的概率计算通常不直接积分，而是借助标准正态或 norm.cdf 完成。例如 P(a < X < b) = norm.cdf(b, mu, sigma) - norm.cdf(a, mu, sigma)。

用 Python 完成概率与分位数计算

下面用一组明确标注为示例的参数，演示两类计算。假设某产品抽检中单件合格率为 0.9，抽 20 件，求恰好 18 件合格的概率，以及合格件数不超过 17 件的概率：

from scipy import stats

# 二项分布示例：n=20, p=0.9
p18 = stats.binom.pmf(18, 20, 0.9)      # 恰好 18 件合格
p_le17 = stats.binom.cdf(17, 20, 0.9)   # 不超过 17 件合格
p_ge18 = 1 - stats.binom.cdf(17, 20, 0.9)  # 至少 18 件

# 泊松分布示例：λ=4，求一天来电不超过 2 次的概率
p_pois = stats.poisson.cdf(2, mu=4)

# 正态分布示例：μ=100, σ=15，求 P(90 < X < 110)
p_norm = stats.norm.cdf(110, 100, 15) - stats.norm.cdf(90, 100, 15)

# 分位数：正态分布 95% 分位点
q95 = stats.norm.ppf(0.95, 100, 15)

运行上述代码（示例参数，结果以实际执行为准）会得到：p18 约为 0.0319，p_le17 约为 0.3231，p_ge18 约为 0.6769；泊松累积概率约为 0.2381；正态区间概率约为 0.4950；95% 分位点约为 124.67。这些数值说明：虽然单件合格率高达 0.9，但 20 件中恰好 18 件合格的概率并不高，因为“恰好”这一条件很窄；而“至少 18 件”则宽松得多。

分位数计算是反向操作：给定累积概率 q，求对应的取值 x，使 P(X ≤ x) = q。连续分布直接用 ppf 即可。离散分布的 ppf 返回的是满足累积概率首次达到 q 的最小整数，因此结果天然是整数，但含义是“阶梯式”的，解读时要结合 cdf 验证。例如 stats.binom.ppf(0.5, 20, 0.9) 返回 18，意味着合格件数不超过 18 的概率首次超过 0.5。

掌握这五个分布后，随机模拟的基本流程就清晰了：先依据业务机理选定分布并估计参数，再用 rvs 生成样本、用 cdf/pmf 算概率、用 ppf 定阈值，最后把计算结果与模拟结果相互印证。这套“分布选择—参数设定—正向求概率—反向求分位”的闭环，是后续蒙特卡洛模拟与统计推断的直接基础。