4. 单样本均值检验

单样本均值检验回答的是一个非常具体的问题：手中这一组样本，是否足以说明总体均值与某个给定值不同（或更大、或更小）？例如，某批次零件标称长度 50.0 mm，抽检 12 件后得到样本均值 50.6 mm，这个偏差是正常的抽样波动，还是说明总体均值已经偏离标称值？要回答它，就必须先判断该用 z 检验还是 t 检验，再按规范完成计算、解释与报告。

一、选型的关键：总体标准差是否已知

z 检验与 t 检验的统计量形式几乎一样，差别只在分母：

• z 检验：统计量 z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)，要求总体标准差 σ 已知，且样本来自近似正态总体（大样本时由中心极限定理保证）。σ 通常来自长期历史数据、工艺规范或权威标准，而不是本次样本自己算出来的。
• t 检验：统计量 t = (x̄ − μ₀) / (s / √n)，用样本标准差 s 估计 σ，自由度为 n − 1。适用于σ 未知的常见情形，并要求总体近似正态；样本量越小，对正态性越敏感。

实践中一个常见误区是：样本量大于 30 就用 z 检验。这个说法只在“σ 已知”或“用 s 近似 σ 且样本很大、t 分布已接近标准正态”的语境下成立。若 σ 未知，即便 n = 100，严格做法仍是 t 检验——此时 t 与 z 的临界值差异很小，但报告自由度、使用 t 分布才是逻辑自洽的。反过来，若 σ 确实已知，无论样本大小都应使用 z 检验，因为此时 s 反而浪费了已知信息。

二、计算步骤：以零件长度为例

设某零件标称长度 μ₀ = 50.0 mm，σ 未知，抽检 n = 12 件，测得样本均值 x̄ = 50.6 mm，样本标准差 s = 0.8 mm。取显著性水平 α = 0.05，检验总体均值是否偏离标称值（双侧）。

1. 建立假设：H₀: μ = 50.0；H₁: μ ≠ 50.0（双侧）。若业务只关心“是否偏大”，则用单侧 H₁: μ > 50.0，临界值随之改变。
2. 计算标准误：SE = s / √n = 0.8 / √12 ≈ 0.231 mm。
3. 计算统计量：t = (50.6 − 50.0) / 0.231 ≈ 2.60，自由度 df = 11。
4. 确定临界值与 p 值：双侧 α = 0.05、df = 11 时，t 临界值约为 ±2.201。|t| = 2.60 > 2.201，故拒绝 H₀；对应双侧 p 值约为 0.025。
5. 给出置信区间：均值差的 95% 置信区间为 0.6 ± 2.201 × 0.231，即约 [0.09, 1.11] mm，区间不含 0，与检验结论一致。

若上例中 σ 已知为 0.8 mm，则改用 z 检验：z = 0.6 / (0.8/√12) ≈ 2.60，双侧临界值 ±1.96，同样拒绝 H₀，p 值约 0.009。可见同一数据下 z 检验的 p 值更小，原因是它没有为“估计 σ”付出不确定性代价——这也说明不能随意把 s 当作 σ 使用。

三、结果解释：p 值、区间与效应量三件事

拒绝 H₀ 只说明“在 α 水平下，样本均值与 μ₀ 的差异不太可能仅由抽样波动造成”，它并不说明差异有多大、是否值得处理。因此解释结果时应同时看三样东西：

• p 值：在 H₀ 成立的前提下，出现当前或更极端样本结果的概率。p = 0.025 表示这种偏离在“总体无差异”假设下较罕见，而不是“H₀ 为假的概率是 97.5%”。
• 置信区间：给出差异的方向与可能范围。上例 [0.09, 1.11] mm 说明总体均值可能偏大 0.09 至 1.11 mm，比单个 p 值信息更丰富；若区间下限贴近 0，则提示差异虽显著但可能很小。
• 效应量：常用 Cohen's d = (x̄ − μ₀) / s。上例 d = 0.6 / 0.8 = 0.75，属于中等偏大效应；若样本量极大而 d 仅 0.05，即使 p < 0.001，工程上也未必需要调整工艺。

四、报告规范：让别人能复核你的结论

一份可复核的检验报告应包含：研究问题与假设（单/双侧）、显著性水平、样本量与描述统计（x̄、s）、所用检验及理由（σ 是否已知、正态性判断依据）、统计量与自由度、p 值、均值差的置信区间、效应量，以及结论的实务解读。避免只写“p < 0.05，差异显著”这类无法复核的表述。

示例报告句（数据为教学假设）：

为检验零件长度是否偏离标称值 50.0 mm，抽取 n = 12 件，
得 x̄ = 50.6 mm，s = 0.8 mm。因总体标准差未知，采用单样本 t 检验
（双侧，α = 0.05）。结果：t(11) = 2.60，p = 0.025，
均值差 95% CI = [0.09, 1.11] mm，Cohen's d = 0.75。
结论：拒绝 H₀，样本均值显著高于标称值，且差异具有中等偏大的
实际效应，建议核查加工中心的对刀补偿。

最后提醒两个操作细节：一是单双侧必须在看数据之前确定，看到结果后再改单侧会虚增显著性；二是若数据存在明显偏态或极端值，应先检查测量与记录错误，再考虑变换或非参数检验，而不是直接套用 t 检验的 p 值。