2. 非线性约束优化模型的基本要素
要建立一个可求解的非线性约束优化模型，必须把工程或业务问题“翻译”成四个彼此咬合的数学要素：决策变量、目标函数、约束条件（等式与不等式），以及由约束共同界定的可行域与其中的最优解。前三个要素决定模型长什么样，后两个概念决定模型解出来意味着什么。本节围绕这五个对象展开，并用一个可手算的二维示例贯穿说明。
一、决策变量：模型真正可以“动”的量
决策变量是建模者能够自主选择、且选择会改变目标与约束取值的量。它区别于参数（已知常数，如材料单价、设备额定功率）和中间量（由决策变量派生，如总重量、总成本）。判断一个量是否应设为决策变量，可以问三个问题：它是否可由我们决定？改变它是否影响目标？它是否出现在至少一个约束中？
以“设计一个圆柱形承压储罐”为例，若目标是使钢材用量（表面积）最小，同时要求容积不小于给定值、罐壁应力不超过许用值，则可取半径 r（m）与高度 h（m）为决策变量，写作向量形式 x = (r, h)。钢材密度、许用应力、设计容积都是参数，不进入决策向量。变量还要给出类型与取值范围：连续变量、整数变量（如壁厚只能取标准板厚档位）、以及物理上必须为正的隐含下界（r > 0, h > 0）。这一步若含糊，后续约束与求解都会失真。
二、目标函数：把“好坏”写成一个可比较的标量
目标函数 f(x) 把决策向量映射为实数，数值越小（或越大）表示方案越优。建模时的关键不是写出公式，而是确认三件事：方向（min 还是 max）、量纲（是否与约束中的量一致）、非线性来源（乘积项、幂次、三角函数、指数、对数、分式等）。
储罐示例中，用钢量正比于表面积，取
min f(r, h) = 2πr² + 2πrh （侧壁 + 上下底，忽略壁厚差异）其中 2πr² 是二次项，2πrh 是双线性项，二者都使目标函数关于变量非线性。若同时关心造价与散热，可写成加权和 f = w₁·用钢量 + w₂·散热面积，但权重需归一化，否则量纲大的项会单方面主导优化方向。
三、约束条件：等式刻画“必须满足的平衡”，不等式刻画“允许的边界”
约束分两类。等式约束 h_i(x) = 0 通常来自守恒关系、几何关系或定义式，它把解限制在一个低维曲面上；不等式约束 g_j(x) ≤ 0（或 ≥ 0）来自容量上限、强度下限、几何可行性等，它把解限制在某个区域内。统一写成标准形式：
min f(x)
s.t. h_i(x) = 0, i = 1, …, m
g_j(x) ≤ 0, j = 1, …, p
x ∈ X（变量界与类型）储罐示例的具体约束可写为：
- 容积要求（不等式）：
g₁ = πr²h − V₀ ≥ 0，即−πr²h + V₀ ≤ 0，其中V₀为设计容积； - 应力限制（不等式）：薄壁环向应力
σ = Pr/t ≤ [σ]，整理为g₂ = Pr − [σ]t ≤ 0，此处t为壁厚参数； - 几何比例（不等式）：
1 ≤ h/(2r) ≤ 4，拆成两条线性不等式； - 变量界：
r ≥ 0.5, h ≥ 0.5。
注意 g₁ 中含 r²h，是典型的三次非线性约束；g₂ 关于 r 线性，但若壁厚也设为变量并与压力耦合，就会变成非线性。约束的符号方向必须与物理含义严格对应：容积“不小于”写成 ≥ 0 后，转成标准形要变号，这是初学者最常见的错误来源。
四、可行域：约束共同“切”出来的解空间
把所有等式与不等式约束同时满足的点收集起来，得到可行域 Ω = {x | h_i(x)=0, g_j(x)≤0, x∈X}。可行域可能是一个区域、一条曲线（等式约束多时降维）、一个孤立点，也可能是空集。空集意味着约束互相矛盾，例如同时要求“容积 ≥ 10 m³”和“半径 ≤ 0.3 m、高度 ≤ 1 m”，此时无论怎么优化都无解，必须先回到约束本身检查。
可行域的几何形态直接决定求解难度：凸可行域配合凸目标，局部最优即全局最优；而非线性约束常产生非凸可行域，出现多个局部极小。储罐示例中，g₁ 的边界 πr²h = V₀ 是一条双曲线型曲线，可行域位于其外侧，整体并不凸，因此不能默认“求出的解就是全局最优”。
五、最优解：可行域内使目标达到极值的点
最优解 x* 需同时满足两个条件：可行性（x* ∈ Ω）与最优性（对任意 x ∈ Ω，有 f(x*) ≤ f(x)）。在几何上，它表现为目标函数等值线与可行域边界的相切点，或可行域内部的驻点。若最优点落在边界上，称该约束为起作用约束（active constraint）；落在内部则约束不起作用。判断哪些约束起作用，是理解解的结构、做灵敏度分析的关键。
以一组示例参数说明：设 V₀ = 2 m³，暂不考虑应力与比例约束，仅保留 πr²h ≥ 2 与 r, h > 0。由拉格朗日条件可得最优时 h = 2r（等高等于直径），代入容积等式得 r ≈ 0.683 m，h ≈ 1.366 m，此时最小表面积约 8.8 m²。这一结果属于按公式推导的示例计算，用于说明“最优解往往使某个约束恰好取等号”这一规律，而非实测数据。若再加入应力约束 Pr ≤ [σ]t，当压力较大时该约束会变为起作用约束，最优点被推到应力边界上，半径与高度的比例随之改变——这正是非线性约束优化中“约束切换”的典型现象。