1. 课程导入与线性规划全景

工厂接到订单后要决定每种产品各生产多少，物流公司要在有限车辆和时限内安排配送，农场要在有限的土地、水和肥料下选择种植结构——这些问题的共同点是：资源有限，而目标明确。线性规划（Linear Programming，简称 LP）正是处理这类"在约束下追求最优"问题的经典数学工具。本课程将带你从零开始，学会把一个现实决策问题翻译成线性规划模型，并掌握求解与结果解读的完整流程。

线性规划的三个核心构件

任何一个线性规划模型都由三部分组成，缺一不可：

• 决策变量：你真正要决定的量，通常记为 x₁, x₂, …, xₙ。例如"产品 A 的产量""从仓库 i 运往门店 j 的货物量"。决策变量必须可量化、可控制，且取值通常非负。
• 目标函数：你希望最大化或最小化的指标，如利润最大、成本最小、时间最短。它必须是决策变量的线性组合，形如 z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ。
• 约束条件：现实世界施加的限制，如原料总量、设备工时、预算上限、需求下限。每条约束同样是决策变量的线性等式或不等式。

所谓"线性"，指目标函数和所有约束中，每个决策变量都只以一次方出现，且变量之间不做乘法、不取绝对值、不出现分段。这一限制看似苛刻，却换来了极强的可解性——成千上万个变量的模型也能在秒级求得全局最优解。

一个贯穿全课的教学示例

为便于后续章节逐步展开，这里先给出一个简单但完整的例子（数据为教学假设）。某小型家具作坊生产书桌和椅子，每张书桌耗木材 4 单位、工时 2 小时，利润 50 元；每把椅子耗木材 3 单位、工时 1 小时，利润 30 元。本周可用木材 120 单位、工时 50 小时。问如何安排产量使利润最大？

设书桌产量为 x₁，椅子产量为 x₂，则模型为：

max  z = 50x₁ + 30x₂
s.t. 4x₁ + 3x₂ ≤ 120   （木材约束）
     2x₁ +  x₂ ≤ 50    （工时约束）
     x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0    （非负约束）

这个模型只有两个变量，可以在平面上画出可行域并用等利润线平移求解，最优解出现在约束边界的交点上。它的价值不在于答案本身，而在于展示了"现实描述 → 变量定义 → 线性表达式 → 标准模型"的完整翻译过程。后续章节将把这一过程推广到多变量、多约束的规模，并引入单纯形法、对偶理论、灵敏度分析等工具。

线性规划的典型应用版图

线性规划的应用几乎覆盖所有需要"配置稀缺资源"的领域，下图展示了四类最常见场景及其模型要素的对应关系：

可以看到，场景虽异，建模骨架完全一致：先锁定"要决定的量"，再写出"追求什么"，最后把"不能突破的边界"逐条列成线性不等式。掌握这套翻译方法，比记住某个具体模型更重要。

本课程的学习路径

课程按"建模—求解—分析—应用"四层递进组织。第一阶段建立几何直觉与标准形规范，理解可行域、顶点与最优解的关系；第二阶段系统学习单纯形法与大 M 法，能手工完成小规模模型的迭代；第三阶段进入对偶理论与灵敏度分析，回答"资源涨价多少会改变方案""约束放松一单位值多少钱"这类管理问题；第四阶段通过运输、指派、整数规划入门等专题，把方法落到真实业务。每章都会配可复现的示例数据与判断依据，帮助你在动笔建模时知道每一步为什么这样做。

接下来，我们将从线性规划的几何直观入手，看看约束如何在平面上"切"出一块可行区域，以及最优解为什么总藏在区域的顶点上。