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非线性方程数值求根方法与应用

共计 30 章节
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01
课程导入与问题界定
非线性方程求根的实际意义 · 典型工程与科学问题 · 课程目标与学习路径
课程导入问题界定
02
非线性方程的基本概念与数学基础
根的定义 · 重根 · 连续性
非线性方程的基本…数学基础
03
求根方法的评价维度
收敛性 · 收敛速度 · 计算成本
求根方法的评价维…收敛性
04
二分法
原理 · 算法流程 · 收敛性证明
二分法原理
05
不动点迭代法
迭代格式构造 · 收敛性条件 · 收敛阶分析与迭代函数设计技巧
不动点迭代法迭代格式构造
06
牛顿法
切线法原理 · 迭代公式 · 局部收敛性
牛顿法切线法原理
07
牛顿法的改进与变体
修正牛顿法 · 弦截法 · 抛物线法及其适用场景对比
牛顿法的改进变体
08
割线法与试位法
无导数迭代格式 · 收敛性分析 · 与牛顿法的性能比较
割线法试位法
09
布伦特方法
结合二分 · 割线与逆二次插值的混合策略 · 鲁棒性与实现要点
布伦特方法结合二分
10
多项式方程求根
代数基本定理 · 笛卡尔符号法则 · 斯图姆序列与实根隔离
多项式方程求根代数基本定理
11
多项式求根的专用算法
牛顿-拉夫逊迭代 · 拉盖尔方法 · 伴随矩阵特征值方法
多项式求根的专用…牛顿
12
非线性方程组的牛顿法
雅可比矩阵 · 迭代格式 · 收敛性与计算复杂度
非线性方程组的牛…雅可比矩阵
13
非线性方程组的拟牛顿法
布罗伊登方法 · 雅可比近似更新与收敛性分析
非线性方程组的拟…布罗伊登方法
14
非线性最小二乘与求根
高斯-牛顿法 · 莱文贝格-马夸特方法及其与求根的联系
非线性最小二乘求根
15
区间分析方法
区间牛顿法 · 区间二分法 · Krawczyk方法及全局收敛性保证
区间分析方法区间牛顿法
16
同伦延拓方法
同伦构造 · 路径跟踪 · 预测-校正算法与多解发现
同伦延拓方法同伦构造
17
全局优化视角下的求根
遗传算法 · 粒子群算法等启发式方法在求根中的辅助…
全局优化视角下的…遗传算法
18
求根方法的误差分析与停止准则
前向误差 · 后向误差 · 条件数及实用停止判据
求根方法的误差分…停止准则
19
病态问题与数值稳定性
重根 · 近似重根 · 导数病态及高条件数问题的处理策略
病态问题数值稳定性
20
初值选择与收敛域分析
吸引盆 · 分形边界 · 初值敏感性及实用初值选取策略
初值选择收敛域分析
21
复数域求根
复牛顿法 · Muller方法 · Durand-Kerner方法及复数…
复数域求根复牛顿法
22
大规模稀疏非线性方程组的求根
稀疏雅可比处理 · 迭代线性求解器与矩阵-free方法
大规模稀疏非线性…稀疏雅可比处理
23
求根方法在工程中的应用
电路直流工作点分析 · 机构位置分析 · 管道网络流量计算
求根方法工程
24
求根方法在物理与化学中的应用
状态方程求根 · 化学反应平衡计算 · 量子力学本征值问题
求根方法物理
25
求根方法在优化与机器学习中的应用
一阶最优性条件求解 · 正则化逻辑回归 · GAN均衡点求解
求根方法优化
26
求根方法在金融与经济模型中的应用
内部收益率计算 · 期权隐含波动率求解 · 一般均衡模型
求根方法金融
27
求根方法在计算机图形学与几何计算中的应用
光线与曲面求交 · 曲线曲面求交 · 距离计算
求根方法计算机图形学
28
编程实现与性能优化
向量化 · 并行化 · 自动微分
编程实现性能优化
29
综合实战
从实际问题到求根方案设计——模型建立 · 方法选择 · 实现
综合实战从实际问题到求根…
30
课程总结与前沿展望
方法体系回顾 · 新兴挑战 · 量子计算与人工智能辅助求根的发展趋势
课程总结前沿展望