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数学计算科学计算与计算物理工程
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002-数值分析与工程数学计算
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《大型稀疏矩阵数值求解实战45例》
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本课程属于：002-数值分析与工程数学计算
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大型稀疏矩阵数值求解实战45例
共计 45 章节
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01
稀疏矩阵存储格式选型与内存评估
针对给定的大型稀疏矩阵 · 比较 CSR · CSC
稀疏矩阵存储格式…
内存评估
02
COO 到 CSR 的转换实现与正确性验证
实现 COO 到 CSR 的转换算法 · 处理重复索引合并与排序 · 并用小规模稠密矩阵对照验证转换结果的…
COO
CSR
03
CSR 矩阵向量乘法的缓存友好实现
实现 CSR 格式的稀疏矩阵向量乘法 · 通过行指针遍历与列索引访问优化 · 对比不同循环顺序下的性能差异
CSR
矩阵向量乘法的缓…
04
稀疏矩阵转置的 CSR 实现与性能分析
实现 CSR 格式的稀疏矩阵转置算法 · 分析计数排序阶段与填充阶段的时间复杂… · 并验证转置结果的对称性
CSR
稀疏矩阵转置的
05
对角占优稀疏系统的 Jacobi 迭代求解
针对对角占优的稀疏线性系统 · 实现 Jacobi 迭代法 · 设置收敛判据并观察残差随迭代次数的下…
Jacobi
对角占优稀疏系统…
06
对称正定稀疏系统的共轭梯度法实现
实现共轭梯度法求解对称正定稀疏系统 · 利用 CSR 矩阵向量乘法 · 验证残差正交性与收敛精度
对称正定稀疏系统…
实现共轭梯度法求…
07
预条件共轭梯度法的对角预条件器实现
在共轭梯度法框架中实现 Jacobi… · 比较预条件前后迭代次数与收敛速度的变…
预条件共轭梯度法…
Jacobi
08
不完全 Cholesky 预条件器的构造与验证
针对对称正定稀疏矩阵实现 IC(0)… · 构造预条件器并验证其正定性与预条件效…
Cholesky
不完全
09
GMRES 求解非对称稀疏系统的重启策略
实现重启 GMRES 算法求解非对称… · 设置不同重启维度并分析其对收敛性与内…
GMRES
求解非对称稀疏系…
10
稀疏矩阵的 ILU(0) 预条件 GMRES 实现
实现 ILU(0) 不完全 LU 分… · 在非对称稀疏系统上验证预条件对收敛的…
ILU
GMRES
11
稀疏矩阵按行分块并行 SpMV 实现
将 CSR 矩阵向量乘法按行分块分配… · 实现并行 SpMV · 并测量不同线程数下的加速比与负载均衡…
SpMV
稀疏矩阵按行分块…
12
稀疏矩阵向量乘法的向量化优化
针对 CSR 格式的 SpMV · 利用 SIMD 指令或编译器向量化提… · 对比标量与向量化版本的吞吐率
稀疏矩阵向量乘法…
CSR
13
稀疏矩阵重排序对 SpMV 性能的影响
对同一稀疏矩阵应用 RCM 或 AM… · 比较重排序前后 CSR 存储的 Sp…
SpMV
稀疏矩阵重排序对
14
稀疏矩阵分块 CSR 格式实现与 SpMV 测试
实现分块 CSR（BSR）存储格式 · 将稀疏矩阵按固定块大小分块 · 测试 BSR 格式下 SpMV 的性…
CSR
SpMV
15
稀疏矩阵的幂法求主特征值
利用稀疏矩阵向量乘法实现幂法 · 求解大型稀疏矩阵的主特征值与主特征向… · 并验证收敛精度
稀疏矩阵的幂法求…
利用稀疏矩阵向量…
16
稀疏矩阵的 Lanczos 三对角化实现
实现 Lanczos 算法将对称稀疏… · 利用三项递推关系生成正交基 · 并验证三对角矩阵的特征值逼近效果
Lanczos
稀疏矩阵的
17
稀疏矩阵的 Arnoldi 过程与 Krylov 子空间构建
实现 Arnoldi 过程为非对称稀… · 输出 Hessenberg 矩阵并验…
Arnoldi
Krylov
18
稀疏矩阵的稀疏 QR 分解实现
针对稀疏矩阵实现基于 Givens… · 控制填充元增长 · 并验证 Q 的正交性与 R 的上三角…
QR
稀疏矩阵的稀疏
19
稀疏矩阵的列近似最小度排序实现
实现列近似最小度（COLAMD）排序… · 对稀疏矩阵进行列重排序以减少 LU… · 并统计填充元数量
稀疏矩阵的列近似…
COLAMD
20
稀疏 Cholesky 分解的符号分析与数值分解
对对称正定稀疏矩阵先进行符号分解确定… · 再进行数值 Cholesky 分解 · 验证分解结果与填充模式
Cholesky
稀疏
21
稀疏 LU 分解的阈值部分主元法实现
实现带阈值部分主元的稀疏 LU 分解 · 平衡数值稳定性与填充控制 · 并在非对称稀疏系统上验证分解正确性
LU
稀疏
22
稀疏矩阵的条件数估计与病态诊断
利用稀疏矩阵的 LU 分解或迭代方法… · 对病态稀疏系统进行诊断并分析误差放大…
稀疏矩阵的条件数…
病态诊断
23
稀疏线性系统迭代求解的残差替换策略
在迭代求解稀疏线性系统时实现残差替换… · 比较定期重算残差对收敛判据可靠性的影…
稀疏线性系统迭代…
迭代求解稀疏线性…
24
稀疏矩阵的代数多重网格粗化实现
实现代数多重网格的粗化步骤 · 基于强连接关系构建粗网格算子 · 并验证粗网格修正对低频误差的衰减效果
稀疏矩阵的代数多…
实现代数多重网格…
25
代数多重网格 V 循环求解稀疏系统
在已构建的代数多重网格层次上实现 V… · 配置光滑子与限制/延拓算子 · 求解稀疏线性系统并观察收敛因子
代数多重网格
V
26
稀疏矩阵的图划分与区域分解预处理
将稀疏矩阵关联图进行区域划分 · 构造重叠或非重叠区域分解 · 为并行迭代求解准备子域数据结构
稀疏矩阵的图划分
区域分解预处理
27
加性 Schwarz 预条件器的实现与测试
基于区域分解实现加性 Schwarz… · 在并行共轭梯度法中测试其收敛加速效果…
Schwarz
加性
28
稀疏矩阵的稀疏近似逆预条件器构造
实现基于 Frobenius 范数最… · 控制稀疏模式并验证预条件后迭代收敛性
稀疏矩阵的稀疏近…
Frobenius
29
稀疏矩阵向量乘法的 GPU 核函数实现
在 GPU 上实现 CSR 格式的… · 处理线程映射与合并访问 · 对比 CPU 版本的吞吐率与加速比
GPU
稀疏矩阵向量乘法…
30
稀疏矩阵的混合精度迭代求精求解
在稀疏线性系统求解中采用单精度迭代加… · 验证最终解的精度与计算效率
稀疏矩阵的混合精…
稀疏线性系统求解
31
稀疏矩阵的矩阵市场格式读写与校验
实现 Matrix Market 格… · 处理对称/一般类型与坐标/数组格式 · 并校验读入数据的维度与对称性
稀疏矩阵的矩阵市…
校验
32
稀疏矩阵的带状存储与带状求解器实现
针对带状稀疏矩阵实现带状存储格式与带… · 验证求解结果并分析带宽对存储与计算量…
稀疏矩阵的带状存…
带状求解器实现
33
稀疏矩阵的快速多极子方法近场与远场分解
实现快速多极子方法中的近场直接计算与… · 构建稀疏近场矩阵并验证远场近似精度
稀疏矩阵的快速多…
远场分解
34
稀疏矩阵的随机化低秩近似实现
利用随机投影对大型稀疏矩阵进行低秩近… · 实现随机化 SVD 算法 · 并评估近似误差与计算开销
稀疏矩阵的随机化…
利用随机投影对大…
35
稀疏矩阵的谱聚类拉普拉斯矩阵构建与求解
从图数据构建稀疏拉普拉斯矩阵 · 求解其最小非零特征向量进行谱聚类 · 验证聚类划分与稀疏求解器的配合
稀疏矩阵的谱聚类…
求解
36
稀疏矩阵的 PageRank 幂迭代求解
将网页链接图表示为稀疏矩阵 · 利用幂迭代求解 PageRank 向… · 处理悬挂节点并验证收敛性
PageRank
稀疏矩阵的
37
稀疏矩阵的稀疏逻辑回归梯度计算
在稀疏特征矩阵上实现逻辑回归的梯度与… · 利用稀疏线性求解器完成牛顿法更新
稀疏矩阵的稀疏逻…
稀疏特征矩阵上实…
38
稀疏矩阵的有限差分二维泊松方程组装与求解
用五点差分格式组装二维泊松方程的稀疏… · 调用共轭梯度法求解 · 并与解析解对比验证离散精度
稀疏矩阵的有限差…
求解
39
稀疏矩阵的有限元刚度矩阵组装与边界条件处理
针对二维弹性问题组装稀疏有限元刚度矩… · 施加 Dirichlet 边界条件后…
稀疏矩阵的有限元…
边界条件处理
40
稀疏矩阵的电路节点导纳矩阵求解
从电路网表构建稀疏节点导纳矩阵 · 利用稀疏 LU 分解求解节点电压 · 并验证基尔霍夫电流定律
稀疏矩阵的电路节…
从电路网表构建稀…
41
稀疏矩阵的牛顿法非线性方程组雅可比稀疏求解
在求解非线性稀疏方程组时 · 构造稀疏雅可比矩阵并利用稀疏线性求解… · 验证二次收敛性
稀疏矩阵的牛顿法…
求解非线性稀疏方…
42
稀疏矩阵的时间步进隐式格式稀疏求解
对抛物型方程采用隐式时间离散 · 每步组装稀疏线性系统并求解 · 分析时间步长对稀疏求解器性能的影响
稀疏矩阵的时间步…
对抛物型方程采用…
43
稀疏矩阵的迭代求解器容差与最大迭代次数调优
针对同一稀疏系统 · 系统调整迭代求解器的相对容差与最大迭… · 分析求解精度
稀疏矩阵的迭代求…
最大迭代次数调优
44
稀疏矩阵求解器的性能剖析与热点定位
使用性能剖析工具对稀疏矩阵向量乘法与… · 定位时间消耗最大的代码段并提出优化方…
稀疏矩阵求解器的…
热点定位
45
稀疏矩阵求解流程的端到端集成与回归测试
将矩阵读入 · 重排序 · 预条件构造
稀疏矩阵求解流程…
回归测试
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