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线性方程组预条件技术应用

共计 30 章节
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01
课程导入与问题定义
线性方程组来源 · 规模与稀疏性挑战 · 预条件技术的作用与课程路线图
课程导入问题定义
02
迭代求解器回顾
Jacobi · Gauss-Seidel · SOR
迭代求解器回顾Jacobi
03
预条件技术基本原理
预条件子的定义 · 左/右预条件形式 · 谱等价与条件数改善机制
预条件技术基本原…预条件子的定义
04
稀疏矩阵存储与运算
CSR/CSC格式 · 稀疏矩阵向量乘 · 填充元与计算复杂度分析
稀疏矩阵存储运算
05
对角预条件与多项式预条件
Jacobi预条件 · Chebyshev多项式预条件 · 适用场景与局限性
对角预条件多项式预条件
06
不完全分解预条件（ILU）
ILU(0) · ILU(k) · ILUT的构造算法
ILU不完全分解预条件
07
ILU预条件的实现与调参
阈值参数 · 填充控制 · 预处理矩阵的稀疏模式优化
ILU预条件的实现
08
对称正定系统的预条件
不完全Cholesky分解 · 修正IC · IC(0)与IC(k)的变体
对称正定系统的预…Cholesky
09
稀疏近似逆预条件（SPAI）
最小二乘构造 · Frobenius范数最小化 · 并行实现优势
SPAI稀疏近似逆预条件
10
代数多重网格预条件（AMG）
粗化策略 · 光滑算子 · 插值算子与AMG作为预条件子的使用
AMG代数多重网格预条…
11
区域分解预条件
加性Schwarz · 乘性Schwarz · 重叠区域大小与收敛性关系
区域分解预条件Schwarz
12
预条件子与Krylov子空间方法的匹配
CG · GMRES · BiCGSTAB与不同预条件子的组合…
Krylov预条件子
13
预条件子性能评估
条件数估计 · 迭代次数 · 计算时间
预条件子性能评估条件数估计
14
实际案例
二维泊松方程离散系统——ILU预条件…
实际案例ILU
15
实际案例
三维非均质扩散问题——AMG预条件子…
实际案例AMG
16
实际案例
对流扩散方程——GMRES与ILUT…
实际案例GMRES
17
实际案例
结构力学有限元系统——区域分解预条件…
实际案例结构力学有限元系…
18
实际案例
电路仿真中的稀疏线性系统——SPAI…
实际案例SPAI
19
预条件技术在特征值问题中的应用
移位反迭代与预条件子选择
预条件技术特征值问题
20
预条件技术在优化问题中的应用
牛顿法中的线性系统预条件与内点法
预条件技术优化问题
21
预条件技术在机器学习中的应用
核方法 · 图拉普拉斯系统与随机预条件
预条件技术机器学习
22
并行预条件技术
分布式内存下的ILU · AMG与区域分解的并行实现策略
并行预条件技术ILU
23
GPU加速预条件技术
稀疏三角求解 · 并行稀疏近似逆与GPU上的Krylo…
GPU加速预条件技术
24
预条件子的鲁棒性设计
参数自适应 · 失效检测与回退策略
预条件子的鲁棒性…参数自适应
25
预条件子与矩阵重排序
RCM · AMD · 嵌套剖分对填充和收敛的影响
预条件子矩阵重排序
26
预条件技术在时变问题中的应用
时间步进中的预条件子重用与更新策略
预条件技术时变问题
27
预条件技术在非线性问题中的应用
非线性预条件 · Jacobian-free Newt…
预条件技术非线性问题
28
预条件技术软件工具实践
PETSc · Trilinos · hypre中的预条件子配置与性能调优
预条件技术软件工…PETSc
29
综合实战
从实际问题到预条件子选型——完整流程 · 参数扫描与结果分析
综合实战从实际问题到预条…
30
前沿进展与课程总结
学习型预条件 · 随机预条件 · 量子线性求解器展望与知识体系回顾
前沿进展课程总结