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稀疏线性系统求解算法与实践

共计 30 章节

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课程导入与稀疏线性系统概览

稀疏线性系统的定义 · 来源与典型应用场景 · 课程目标与学习路径

课程导入稀疏线性系统概览

稀疏矩阵基础与存储优化

稀疏矩阵的数学表示 · 稀疏度与带宽概念 · CSR/CSC格式的构建与遍历

稀疏矩阵基础存储优化

直接法基础

高斯消元与LU分解：稠密LU分解回顾 · 稀疏LU分解的填充（fill-in）… · 符号分解与数值分解

直接法基础LU

稀疏Cholesky分解与排序算法

对称正定系统的Cholesky分解 · 最小度排序（AMD）与嵌套剖分（ND… · 实战

稀疏直接法求解器实践

SuperLU · UMFPACK · CHOLMOD等库的接口与使用

稀疏直接法求解器…SuperLU

迭代法基础

Jacobi · Gauss-Seidel与SOR · 谱半径与收敛速度

迭代法基础Jacobi

Krylov子空间方法入门

共轭梯度法（CG）：CG的推导 · 算法流程与收敛性分析 · 预处理共轭梯度法（PCG）框架

Krylov子空间方法入门

GMRES与BiCGSTAB方法

非对称系统的Krylov方法 · GMRES的Arnoldi过程与重启… · BiCGSTAB算法

预处理技术基础

对角预处理 · 不完全LU分解（ILU） · ILU(0)与ILU(k)的构造

预处理技术基础对角预处理

高级预处理

代数多重网格（AMG）与稀疏近似逆 · 稀疏近似逆（SPAI）构造 · 实战

高级预处理AMG

稀疏矩阵的特征值问题与迭代求解

幂法 · Arnoldi与Lanczos方法 · 实战

稀疏矩阵的特征值…迭代求解

稀疏线性系统在偏微分方程离散中的应用

有限差分与有限元离散得到的稀疏系统 · 边界条件处理 · 实战

稀疏线性系统偏微分方程离散

稀疏线性系统在电路仿真中的应用

改进节点分析（MNA）形成的稀疏系统 · 直流工作点求解 · 实战

稀疏线性系统电路仿真

稀疏线性系统在机器学习中的应用

图拉普拉斯矩阵与半监督学习 · 稀疏回归问题 · 实战

稀疏线性系统机器学习

稀疏线性系统在优化问题中的应用

内点法中的稀疏线性系统求解 · KKT系统求解 · 实战

稀疏线性系统优化问题

并行稀疏线性求解

稀疏矩阵向量乘（SpMV）的并行化 · 并行Krylov方法 · 实战

并行稀疏线性求解SpMV

GPU加速稀疏线性求解

CUDA稀疏库（cuSPARSE）使… · GPU上的SpMV与迭代法 · 实战

GPU加速稀疏线性求解

稀疏矩阵重排序与图划分

图划分算法（METIS）与嵌套剖分 · 实战

稀疏矩阵重排序图划分

稀疏直接法与迭代法的混合策略

直接-迭代混合求解器 · 区域分解方法 · 实战

稀疏直接法迭代法的混合策略

稀疏线性系统求解的误差分析与稳定性

条件数估计 · 迭代法舍入误差分析 · 实战

稀疏线性系统求解…稳定性

稀疏矩阵的生成与测试集

标准稀疏矩阵集合（SuiteSpar… · 矩阵生成工具 · 实战：下载并分析实际应用中的稀疏矩阵

稀疏矩阵的生成测试集

稀疏线性系统求解的性能剖析与优化

性能分析工具（如PAPI） · 内存访问优化 · 实战：使用性能计数器分析SpMV瓶颈

稀疏线性系统求解…优化

面向应用的稀疏求解器选择与调优

根据问题特性选择直接法或迭代法 · 参数调优 · 实战

面向应用的稀疏求…调优

稀疏线性系统求解在计算流体力学中的应用

压力泊松方程求解 · 实战

稀疏线性系统求解计算流体力学

稀疏线性系统求解在结构力学中的应用

刚度矩阵的组装与求解 · 实战

稀疏线性系统求解结构力学

稀疏线性系统求解在电磁场仿真中的应用

时谐 Maxwell 方程的稀疏系统 · 实战：使用FEM求解简单波导问题

稀疏线性系统求解电磁场仿真

稀疏线性系统求解在图像处理中的应用

图像去模糊与修复中的稀疏线性系统 · 实战

稀疏线性系统求解图像处理

稀疏线性系统求解在推荐系统中的应用

矩阵补全与稀疏线性系统 · 实战：使用交替最小二乘求解推荐模型

稀疏线性系统求解推荐系统

稀疏线性系统求解在量子化学中的应用

Hartree-Fock方程中的稀疏… · 实战

稀疏线性系统求解量子化学

课程综合实践

从实际问题到稀疏求解器：完整项目流程 · 包括问题建模 · 矩阵组装

课程综合实践从实际问题到稀疏…