3. 插值型求积公式统一框架
前面两节我们分别讨论了数值积分的基本思想和误差来源。本节要把散落的求积公式收拢到一个统一的构造框架中——插值型求积公式。理解这个框架后，梯形公式、Simpson公式乃至更高阶的Newton-Cotes公式都不再是孤立记忆的公式，而是同一构造思路在不同插值节点数下的自然产物。
一、构造思路：先插值，再积分
设被积函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，但我们只掌握它在若干节点 x0, x1, …, xn 处的函数值。既然无法直接对 f 积分，一个自然的替代方案是：构造一个容易积分的近似函数 p(x)，用它代替 f(x)。
最直接的选择是插值多项式。取 n+1 个互异节点，构造次数不超过 n 的Lagrange插值多项式：
p_n(x) = Σ_{k=0}^{n} f(x_k) · l_k(x)
其中 l_k(x) = Π_{j≠k} (x - x_j) / (x_k - x_j)对 pn(x) 在 [a, b] 上积分，并利用积分的线性性，得到：
I ≈ ∫_a^b p_n(x) dx = Σ_{k=0}^{n} f(x_k) · ∫_a^b l_k(x) dx
= Σ_{k=0}^{n} A_k · f(x_k)其中 Ak = ∫ab lk(x) dx 称为求积系数。它只与节点位置和积分区间有关，与被积函数 f 无关。这就是插值型求积公式的统一形式：节点决定系数，系数决定公式。
二、代数精度：衡量公式好坏的标尺
不同的节点选取会产生不同的求积公式，如何比较它们的优劣？代数精度是最常用的理论标尺。
定义：若一个求积公式对所有次数不超过 m 的多项式都能精确成立（即余项为零），但对某个 m+1 次多项式不能精确成立，则称该公式具有 m 次代数精度。
检验方法很直接：依次取 f(x) = 1, x, x2, … 代入公式，比较求积结果与精确积分值，第一个出现不等的次数减一即为代数精度。
插值型求积公式有一个漂亮的结论：由 n+1 个节点构造的插值型求积公式，其代数精度至少为 n。原因在于，当 f 是次数不超过 n 的多项式时，插值多项式 pn 就是 f 本身，积分自然精确。若节点选取得当（如Gauss节点），代数精度还能进一步提高到 2n+1，这将在后续章节展开。
三、Newton-Cotes公式族：等距节点的特例
当插值节点取为区间 [a, b] 上的等距节点时，插值型求积公式就退化为经典的Newton-Cotes公式族。将区间 n 等分，步长 h = (b − a)/n，节点 xk = a + kh，代入统一框架即得各阶公式。
下图展示了从插值多项式到Newton-Cotes公式族的构造脉络，以及各阶公式的节点分布与代数精度对照：
四、系数计算实例：以Simpson公式为例
为了把框架落到实处，我们手工推导一次Simpson公式的系数。取 [a, b] = [0, 2]，节点 x0=0, x1=1, x2=2，步长 h=1。三个Lagrange基函数为：
l₀(x) = (x−1)(x−2) / [(0−1)(0−2)] = (x²−3x+2)/2
l₁(x) = (x−0)(x−2) / [(1−0)(1−2)] = −x²+2x
l₂(x) = (x−0)(x−1) / [(2−0)(2−1)] = (x²−x)/2分别积分：A0 = ∫02 l0 dx = 1/3，A1 = 4/3，A2 = 1/3。于是得到 S = (1/3)f(0) + (4/3)f(1) + (1/3)f(2)。对一般区间 [a, b]，令 m = (a+b)/2，整理即得 S = (b−a)/6 · [f(a) + 4f(m) + f(b)]。验证系数和：1/3 + 4/3 + 1/3 = 2 = b − a，与理论一致。
五、代数精度的验证与公式选择
用 f(x) = x3 在 [0, 2] 上检验Simpson公式：精确积分 ∫02 x3 dx = 4；公式给出 (2/6)·[0 + 4·1 + 8] = 4，精确成立。再用 f(x) = x4：精确值 32/5 = 6.4；公式给出 (2/6)·[0 + 4·1 + 16] = 20/3 ≈ 6.667，不相等。因此Simpson公式的代数精度恰为 3 次，与理论预测（n=2 为偶数，精度可达 n+1=3）吻合。
六、框架的实践意义
掌握这个统一框架后，面对一个新的求积需求，可以按以下逻辑决策：先明确精度要求与函数光滑性，再选择节点数与节点分布（等距对应Newton-Cotes，非等距可构造Gauss型），然后通过积分基函数得到系数，最后用代数精度和系数和性质做快速校验。这一"节点→系数→精度"的链条，正是后续复化公式、自适应积分和Gauss求积的共同出发点。