2. 数值积分基本概念与误差来源

数值积分要解决的问题，本质上是把一个连续区间上的定积分 I = ∫ab f(x) dx 用有限个函数值的加权和来近似。理解这一点，是后续选择算法、评估误差的前提。本节围绕定积分的定义、求积公式的构造思想、截断误差与舍入误差的区别，以及病态问题的初步识别展开。

一、定积分定义与数值近似的出发点

定积分在数学上定义为黎曼和的极限：把区间 [a, b] 分成 n 个子区间，在每个子区间上任取一点 ξ_i，作和 Sn = Σ f(ξi)·Δxi，当最大子区间长度趋于零时，若极限存在且与取点方式无关，则该极限即为定积分。这个定义直接给出了数值积分的构造思路：用有限个采样点的函数值乘以相应权重，去逼近无限细分下的极限值。

因此，任何求积公式都可以写成统一形式：

I ≈ Q[f] = Σ_{i=0}^{n} A_i · f(x_i)

其中 x_i 称为求积节点，A_i 称为求积系数（权重）。不同算法的差别，就在于节点如何选取、权重如何确定。例如梯形公式取两个端点、权重各为 (b−a)/2；辛普森公式取端点与中点、权重比为 1:4:1 再乘 (b−a)/6。节点和权重的选取方式，决定了公式的精度阶和适用范围。

二、求积公式的构造思想：代数精度

构造求积公式最常用的准则是代数精度：要求公式对尽可能高次的代数多项式精确成立。若某公式对所有次数不超过 m 的多项式都能给出精确积分值，而对 m+1 次多项式不精确，则称其代数精度为 m。梯形公式代数精度为 1，辛普森公式为 3，这解释了为什么辛普森公式在同样采样点数下通常更准。

构造时，可令公式对 1, x, x², …, x^m 逐一精确成立，得到关于节点和权重的方程组并求解。插值型求积公式正是这一思想的系统化：用 f 的插值多项式代替 f 本身积分，权重由拉格朗日基函数的积分给出。这也说明，求积公式的误差与插值余项的积分直接相关，为截断误差分析提供了理论依据。

三、截断误差与舍入误差：两种性质不同的偏差

截断误差来自公式对真实积分的近似，是“方法本身”的误差。以复化梯形公式为例，其截断误差为

E_T = −(b−a)/12 · h² · f''(ξ),  ξ ∈ (a, b)

其中 h = (b−a)/n 为步长。可见截断误差与 h² 成正比，步长减半误差约降为四分之一；同时它依赖 f'' 的大小，函数越“弯曲”，误差越大。复化辛普森公式的截断误差为 −(b−a)/180 · h⁴ · f⁽⁴⁾(ξ)，收敛更快，但要求 f 四阶可导。

舍入误差则来自计算机浮点表示与运算。每个函数值 f(x_i) 都有约 ε·|f(x_i)| 量级的表示误差（双精度 ε≈2.2×10⁻¹⁶），加权求和时这些误差会累积。更关键的是，当步长 h 不断减小时，截断误差按 h² 或 h⁴ 下降，但舍入误差往往按 1/h 或更大速率增长，两者叠加存在一个最优步长：继续细分反而使总误差上升。这正是数值积分不能盲目“加密网格”的原因。

四、病态问题的初步识别

数值积分的“病态”通常表现为：被积函数在积分区间内存在奇点、剧烈振荡、尖峰或导数极大，使得求积公式的误差估计前提失效。初步识别可从三方面入手：

• 看端点与内部奇异性：如 ∫₀¹ x^−1/2 dx 在 x=0 处无界，普通梯形公式会严重失真，需换用变量替换或高斯型公式。
• 看函数振荡程度：高频振荡函数（如 sin(100x)）在固定节点下会被“欠采样”，此时应增加节点或采用专门振荡积分方法。
• 看误差随 n 的变化趋势：对同一积分用 n、2n、4n 计算，若误差不按理论阶下降，说明函数光滑性不足或已受舍入误差干扰，属于病态信号。

例如考察 f(x)=1/(1+100x²) 在 [−1,1] 上的积分，函数在 0 附近有陡峭尖峰。用复化梯形取 n=8 与 n=64 对比，若两次结果差异明显且不随理论阶收敛，就应怀疑节点未充分刻画尖峰，需在峰值附近加密或改用自适应策略。这类“先诊断、再选算法”的思路，是后续章节算法选择的基本功。

综上，定积分定义给出了“加权求和逼近极限”的框架，代数精度提供了构造与比较公式的标尺，截断误差与舍入误差揭示了精度提升的两条相反约束，而病态识别则提醒我们在套用公式前先审视被积函数的性态。掌握这四点，才能在后续面对具体积分时做出合理的算法选择与误差评估。