2. 概率基础回顾：随机变量、概率分布及其在风险建模中的意义

在搭建 Monte Carlo 模拟之前，必须牢固掌握概率论的核心构件。风险建模的本质是用数学语言描述不确定性，而随机变量与概率分布正是这门语言的基本词汇和语法。本节将系统回顾三类最常用的分布，并阐明它们在风险复核场景中的具体映射。

2.1 随机变量：不确定性的量化载体

随机变量（Random Variable）是将随机试验的结果映射为数值的函数。在风险建模中，我们关心的所有不确定因素——未来汇率、项目工期、违约损失——都可以抽象为随机变量。

2.2 概率分布：描述随机变量的行为模式

概率分布（Probability Distribution）完整描述了随机变量取值的可能性规律。在风险复核流程中，选择正确的分布形态直接决定了模拟结果的可靠性。以下三种分布是 Monte Carlo 建模的基石。

2.2.1 均匀分布（Uniform Distribution）

均匀分布是最简单的连续分布，在区间 [a, b] 内所有值的概率密度相等。其概率密度函数为：

f(x) = 1 / (b - a),  a ≤ x ≤ b
f(x) = 0,           其他

• 风险建模意义： 用于表示“完全无知”或“等可能”场景，例如：审计抽样中每笔交易被选中的概率相同；参数敏感性分析中对输入参数在已知范围内无偏好假设。
• Monte Carlo 角色： 均匀分布是随机数生成器的底层基础——所有其他分布的随机样本都通过均匀分布 U(0,1) 经逆变换法或接受-拒绝法转换得到。

2.2.2 正态分布（Normal Distribution）

正态分布是自然界和金融领域最常见的分布，由均值 μ 和标准差 σ 完全决定。其概率密度函数为：

f(x) = (1 / (σ√(2π))) · exp(-(x-μ)² / (2σ²))

• 风险建模意义： 适用于大量独立微小因素叠加的变量，如：市场风险中的股票日收益率、操作风险中的流程偏差、信用风险中的债务人资产价值变化。
• 重要局限： 正态分布尾部较薄，无法捕捉极端风险（肥尾效应）。在风险复核中，若数据呈现明显尖峰肥尾，应优先考虑 t 分布或混合分布。

2.2.3 三角分布（Triangular Distribution）

三角分布由最小值 a、最可能值 m、最大值 b 三个参数定义，形状为三角形。其概率密度函数为分段线性函数：

f(x) = 2(x - a) / ((b - a)(m - a)),  a ≤ x ≤ m
f(x) = 2(b - x) / ((b - a)(b - m)),  m ≤ x ≤ b

• 风险建模意义： 在数据稀缺但专家经验丰富的场景中极为实用。例如：项目工期估算（乐观时间、最可能时间、悲观时间）、单一损失事件的严重程度估计、新业务线的收入预测。
• 优势： 参数直观、易于向业务部门解释；能自然体现偏态（左偏或右偏），比均匀分布更贴近现实。

2.3 三种分布对比与选择指南

2.4 分布选择在风险复核中的决策流程

下图展示了在风险复核流程中，如何根据数据可得性和业务特征选择概率分布：

2.5 概率分布与 Monte Carlo 模拟的衔接

在风险复核流程中，概率分布的选择直接决定了 Monte Carlo 模拟的输入质量。以下是分布参数与模拟步骤的对应关系：

1. 参数校准： 根据历史数据或专家判断，确定分布的具体参数（如正态分布的 μ 和 σ）。
2. 随机数生成： 使用伪随机数生成器产生 U(0,1) 均匀分布样本。
3. 逆变换采样： 通过累积分布函数的逆函数，将均匀样本转换为目标分布样本。
4. 模拟运行： 将生成的样本代入风险计算模型，重复 N 次（通常 10,000~100,000 次）。
5. 结果聚合： 对 N 次模拟结果进行统计分析，输出风险指标（均值、分位数、VaR 等）。