4. 基于统计过程的故障检测
工业过程通常有几十到上百个测点，变量之间高度相关。若对每个变量单独设阈值报警，既会漏掉“单变量正常但变量关系已破坏”的故障，也会因阈值过密产生大量误报。基于统计过程的方法换了一个思路：先用历史正常运行数据建立变量之间的相关结构模型，再把实时样本投影到该模型上，用两个统计量分别衡量“模型内偏离”和“模型外异常”，最后用贡献图定位是哪些变量把统计量推高了。本节围绕主成分分析（PCA）、偏最小二乘（PLS）、T²与SPE统计量、贡献图诊断，并以田纳西伊士曼过程（TEP）为例说明完整流程。
一、PCA：用主成分描述正常工况的相关结构
设标准化后的训练数据矩阵为 X ∈ R^(n×m)，n 为样本数，m 为变量数。PCA 对协方差矩阵做特征分解，取前 k 个最大特征值对应的特征向量组成载荷矩阵 P ∈ R^(m×k)，则得分 T = X P，重构 X̂ = T Pᵀ，残差 E = X − X̂。主成分子空间保留过程的主要波动方向，残差子空间承载变量间相关关系被破坏的部分。k 的选取常用累计方差贡献率（如 85%~95%）或交叉验证确定；k 过小会把正常波动误判为故障，k 过大则削弱对相关结构破坏的敏感性。
建模前必须做标准化：X_std = (X − μ) / σ，其中 μ、σ 只能来自正常训练集，并保存下来用于在线样本。若某变量方差接近零，应先剔除或改用其他缩放方式，否则标准化会放大噪声。
二、PLS：当质量变量可测时引入监督信息
PCA 只利用 X 自身结构，属于无监督方法。若过程同时能采集关键质量变量 Y（如产品纯度、收率），PLS 更合适。PLS 在 X 与 Y 之间同时提取潜变量，使潜变量既解释 X 的方差，又与 Y 的协方差最大。其外部关系可写为 X = T Pᵀ + E，Y = U Qᵀ + F，内部关系 U = T B。PLS 的 T² 与 SPE 定义与 PCA 类似，但 SPE 通常基于 X 的残差计算。当 Y 在线可测且滞后不大时，PLS 对与质量相关的故障更敏感；若 Y 不可测或严重滞后，则退回 PCA。
三、T²与SPE：两个统计量各管一段
T² 衡量样本在主成分子空间内偏离正常中心的马氏距离：T² = tᵀ Λ⁻¹ t，其中 Λ 为前 k 个特征值构成的对角阵。SPE（又称 Q 统计量）衡量样本在残差子空间的平方重构误差：SPE = eᵀ e = ‖(I − P Pᵀ) x‖²。控制限可在正态假设下按 F 分布（T²）和 χ² 分布（SPE）计算，也可用核密度估计或经验分位数从正常数据直接取 99% 分位点，后者对非高斯数据更稳健。
两个统计量的故障指向不同：T² 超限通常意味着过程整体工况偏移，或主成分方向上的幅值异常；SPE 超限意味着变量间相关关系被破坏，常见于传感器漂移、阀门卡涩、物料配比变化等。实际中会出现“T² 报警而 SPE 正常”“SPE 报警而 T² 正常”“两者同时报警”三类情况，需结合贡献图进一步判断。
四、贡献图：从“报警”到“定位”
统计量超限只说明“有异常”，贡献图回答“谁造成的”。对 SPE，第 i 个变量的贡献可直接取残差平方 c_i = e_i²；对 T²，常用 c_i = tᵀ Λ⁻¹ p_i x_i，其中 p_i 为载荷矩阵第 i 行。把所有变量贡献按降序排列，贡献显著高于其余变量的几个测点即为嫌疑变量。需要注意三点：一是贡献图是相关性证据而非因果结论，需结合工艺流程确认；二是多个变量同时高贡献可能源于同一根因（如某股进料变化导致下游多个温度、压力同时偏移）；三是贡献图对传感器故障和过程故障的区分能力有限，通常要配合历史报警记录和现场检查。
五、田纳西伊士曼过程案例
TEP 是化工过程监控的标准仿真平台，包含反应器、冷凝器、汽提塔、压缩机等单元，共 41 个测量变量和 11 个操纵变量，另有 21 种预设故障（IDV1~IDV21），涵盖阶跃、随机变化、缓慢漂移、阀门粘滞等类型。典型做法是：用 500 个正常样本训练 PCA 模型，取累计方差 90% 对应的主元数（TEP 中常在 20~30 之间），用正常样本的 99% 分位点确定 T² 和 SPE 控制限；再用 960 个测试样本（前 160 个正常、第 161 个起引入故障）在线计算统计量。
以 IDV1（A/C 进料比阶跃变化）为例，故障引入后 SPE 通常迅速超限，T² 也可能升高，贡献图中与进料流量、反应器温度相关的变量贡献突出。以 IDV4（反应器冷却水入口温度阶跃）为例，T² 往往先于 SPE 报警，说明工况整体偏移。以 IDV11（反应器冷却水入口温度随机变化）为例，SPE 波动加剧但均值偏移不明显，需观察统计量的持续超限比例而非单点。这些差异说明：不同故障类型在两个统计量上的响应模式不同，实际诊断时应同时观察 T²、SPE 的时序曲线和贡献图，而不是只看某一时刻是否报警。
六、可直接参考的建模与诊断检查表
| 环节 | 关键动作 | 判断依据 |
|---|---|---|
| 数据准备 | 剔除开停车、异常段，检查缺失与量纲 | 训练集应代表正常工况，样本量建议 ≥ 变量数的 10 倍 |
| 标准化 | 用训练集 μ、σ 处理训练与在线数据 | 在线样本不得重新估计 μ、σ |
| 主元数 k | 累计方差 85%~95% 或交叉验证 | k 过小误报多，k 过大灵敏度低 |
| 控制限 | 99% 分位或 F/χ² 分布 | 用独立正常段验证误报率 |
| 在线监控 | 逐样本计算 T²、SPE 并记录超限时刻 | 关注连续超限而非单点 |
| 贡献图 | 对超限样本计算变量贡献并排序 | 取前 3~5 个变量结合工艺确认 |
| 模型维护 | 工况变更后重新训练或更新控制限 | 误报率持续升高即需更新 |
把上述流程落到 MATLAB 中，核心代码通常只有几十行：[P,~,latent] = pca(X_train) 得到载荷与特征值，T = X_train*P(:,1:k) 得到得分，Lambda = diag(latent(1:k))，在线阶段用 t = P(:,1:k)'*x_new、e = x_new - P(:,1:k)*t 计算两个统计量。真正决定诊断效果的不是代码长度，而是训练数据是否干净、主元数是否合理、控制限是否经过验证，以及贡献图结果是否与工艺知识相互印证。