3. 使用Simulink进行一阶倒立摆LQR控制

一阶倒立摆的线性化模型

一阶倒立摆（小车-摆杆系统）的典型状态变量取为：小车位置 x、小车速度 ẋ、摆杆角度 θ（竖直向上为 0）、摆杆角速度 θ̇。在平衡点 θ≈0 附近做小角度线性化（sinθ≈θ，cosθ≈1，忽略 θ̇² 项），可得线性状态空间模型：

状态: x = [x; ẋ; θ; θ̇]
输入: u = 小车水平推力 F

A = [0  1        0            0;
     0  0   -m*g/M          0;
     0  0        0            1;
     0  0  (M+m)*g/(M*l)     0]

B = [0; 1/M; 0; -1/(M*l)]

其中 M=小车质量, m=摆杆质量, l=摆杆质心到转轴距离, g=9.81

取教学示例参数：M=0.5 kg，m=0.2 kg，l=0.3 m，g=9.81 m/s²。代入后 A 中关键项为 -m*g/M=-3.924，(M+m)*g/(M*l)=45.78，B 中 1/M=2，-1/(M*l)=-6.667。该模型在 θ 较小时有效，是 LQR 设计的基础。

LQR 控制器设计与 Simulink 实现

LQR 通过最小化代价函数 J=∫(xᵀQx+uᵀRu)dt 求取最优增益 K=R⁻¹BᵀP，其中 P 由代数 Riccati 方程 AᵀP+PA−PBR⁻¹BᵀP+Q=0 解出。在 MATLAB 中可直接用 lqr(A,B,Q,R) 求解。以下给出完整可运行脚本，先建立模型、计算增益，再在 Simulink 中搭建闭环。

% 一阶倒立摆 LQR 设计脚本（MATLAB）
M = 0.5; m = 0.2; l = 0.3; g = 9.81;

A = [0 1 0 0;
     0 0 -m*g/M 0;
     0 0 0 1;
     0 0 (M+m)*g/(M*l) 0];
B = [0; 1/M; 0; -1/(M*l)];
C = eye(4); D = zeros(4,1);

% 权重选择：优先稳定摆杆，其次定位小车
Q = diag([10, 1, 100, 1]);   % q_θ 最大，强调摆角收敛
R = 0.1;                      % 推力代价较小，允许较大控制量

K = lqr(A,B,Q,R);
disp('LQR 增益 K ='); disp(K);

% 闭环极点验证
Acl = A - B*K;
disp('闭环极点 ='); disp(eig(Acl));

运行后得到一组示例增益（随参数与权重不同而变化）：K ≈ [-10.0, -12.6, 71.4, 13.9]。闭环极点实部均为负，说明系统稳定。接下来在 Simulink 中搭建：

1. 新建模型，拖入 State-Space 模块，填入 A,B,C,D，初始状态设为 [0;0;0.1;0]（摆杆初始偏 0.1 rad）。
2. 拖入 Gain 模块，值设为 -K，实现 u=−Kx。
3. 用 Mux 将 4 路状态合成向量送入 Gain，Gain 输出接 State-Space 的 u 输入。
4. State-Space 输出接 Scope，同时用 To Workspace 记录 x 与 θ。
5. 仿真时间设为 5 s，求解器 ode45，步长自动。

仿真结果判读与调参

运行仿真后观察 Scope：摆角 θ 应从 0.1 rad 快速衰减到 0，小车位置 x 会先向一侧移动以“接住”摆杆，随后回到 0 附近。若 θ 收敛但 x 偏离过大，说明位置权重 q_x 偏低；若控制量 u 饱和或抖动，说明 R 太小。可按以下顺序调整：

可直接使用的 LQR 调参检查表