3. 试验设计基础与样本策略
代理模型的质量，首先取决于样本点是否“问对了问题”。试验设计（Design of Experiments, DOE）就是决定在哪些输入组合上运行仿真或试验的方法论。它要同时回答三件事：样本点放在哪里、放多少个、以及如何用最少的计算预算覆盖最重要的设计空间。本节先梳理常用 DOE 方法的适用条件，再给出针对具体工程问题选择初始样本方案的判断路径。
一、常用试验设计方法的适用条件
全因子设计在每个因子的每个水平上都取点，样本量为各因子水平数的乘积。例如 3 因子 3 水平全因子需要 27 个样本。它的优点是能估计所有主效应和交互效应，无混杂；缺点是样本量随因子数指数增长，通常只适合因子数不超过 4～5、且每个因子水平数较少的场景。
部分因子设计通过牺牲部分高阶交互效应来换取样本量的大幅缩减。2k-p 设计用 2k-p 个样本研究 k 个因子的主效应和低阶交互。它适合因子数较多（5～15 个）的筛选阶段，目的是快速识别哪些因子真正重要，把不重要因子剔除后再做精细设计。使用时必须关注分辨度：分辨度 III 的主效应与二阶交互混杂，分辨度 IV 的主效应不与二阶交互混杂，分辨度 V 可估计部分二阶交互。
中心复合设计（CCD）由“因子点 + 轴向点 + 中心点”三部分组成，是响应面建模的经典方案。因子点用于估计线性与交互项，轴向点（星点）用于估计二次项，中心点用于估计纯误差和检验曲率。CCD 适合已经确认少数关键因子、需要拟合二阶响应面的场景，且具有可旋转性，使预测方差在设计中心等距处相等。
Box-Behnken 设计（BBD）不包含因子点，样本点位于设计空间各棱中点，样本量通常比同因子数的 CCD 少。它适合因子数 3～5、且不希望取极端角点的场景，例如某些参数在角点组合下会导致仿真不收敛。BBD 同样可拟合二阶模型，但对设计空间边角的覆盖弱于 CCD。
拉丁超立方设计（LHS）是一种空间填充设计，将每个因子的取值范围等分为 n 个区间，每个区间恰好放一个样本，再随机配对。它适合因子数多、非线性强、且不需要预先假定模型形式的场景，常用于 Kriging、径向基函数等插值型代理模型的初始采样。LHS 的缺点是随机性导致不同实现的空间均匀性差异较大，通常需要配合最大化最小距离或相关性优化准则使用。
正交设计利用正交表安排试验，使各因子的各水平出现次数相同、任意两因子的水平组合均衡出现。它适合因子水平数不多、需要均衡比较各因子效应的场景，在工程参数筛选中应用广泛。正交表如 L9(34)、L16(45) 等可直接查用。
二、方法选择的核心判断维度
选择 DOE 方法时，建议依次判断以下维度：
- 因子数量：≤4 个且需完整交互信息，优先全因子；5～15 个，先用部分因子筛选；因子很多且非线性强，考虑 LHS。
- 是否需要二阶模型：需要拟合二次响应面，选 CCD 或 BBD；只需线性或筛选，选部分因子或正交设计。
- 计算预算：预算紧张时，BBD 通常比 CCD 省样本；LHS 可在任意样本量下生成。
- 设计空间边界是否安全：角点组合可能导致仿真失败时，BBD 比 CCD 更稳妥。
- 是否需要空间填充：插值型代理模型（Kriging、RBF）偏好 LHS；多项式响应面偏好 CCD/BBD。
三、针对给定工程问题的初始样本方案
下面以一个具体的工程问题为例，说明如何落地选择。假设某换热器翅片优化问题，设计变量为翅片高度 h（2～8 mm）、翅片间距 s（1～4 mm）、翅片厚度 t（0.2～1.0 mm）、入口流速 v（0.5～3.0 m/s），共 4 个因子。目标为换热量 Q 与压降 ΔP，约束为 ΔP ≤ 200 Pa。仿真单次耗时约 8 分钟，总预算允许 60～80 次仿真。
判断过程如下：因子数 4，若用 3 水平全因子需 81 次，超出预算；若用 2 水平全因子需 16 次，但无法估计曲率。由于换热与压降对翅片间距、流速通常呈明显非线性，需要二阶模型。因此选择 CCD：4 因子 CCD 的因子点 24=16 个，轴向点 2×4=8 个，中心点取 6 个，共 30 个样本，远低于预算上限。剩余预算可用于在预测误差较大的区域追加 LHS 样本，形成“CCD 初始 + LHS 补充”的混合策略。
若担心角点组合（如 h=8 mm、s=1 mm、t=1.0 mm、v=3.0 m/s）导致网格畸变或求解不收敛，可改用 BBD：4 因子 BBD 样本量为 24 + 中心点，约 27～30 个，且不取角点，安全性更高。两种方案的对比如下表所示。
| 方案 | 样本量 | 是否含角点 | 可拟合模型 | 适用条件 |
|---|---|---|---|---|
| 4 因子 CCD | 30 | 是 | 二阶 | 角点仿真稳定，需可旋转性 |
| 4 因子 BBD | 27～30 | 否 | 二阶 | 角点易失败，因子数 3～5 |
| 4 因子 LHS | 40～60 | 随机 | 插值型 | 非线性强，用 Kriging |
四、样本策略中的常见误区
第一，把样本点全部放在设计空间中心附近，导致边界区域预测严重外推。第二，因子水平范围取得过窄，代理模型看似精度高，但一旦优化到边界就失效。第三，忽略量纲差异，例如 h 的范围是 2～8，而 t 的范围是 0.2～1.0，若直接按原始尺度做 LHS，t 的采样密度会远高于 h，应在归一化后的 [0,1] 空间内采样再映射回物理量。第四，中心点数量不足，无法可靠估计纯误差，导致模型显著性检验失真。
下图给出从工程问题到初始样本方案的判断路径，以及 CCD、BBD、LHS 三类方案在样本空间中的分布特征对比。
回到换热器翅片案例：若角点仿真稳定，推荐 4 因子 CCD，30 个样本起步；若角点易失败，改用 4 因子 BBD，约 27 个样本；若后续发现响应面在局部区域误差偏大，再追加 10～20 个 LHS 样本做局部加密。这样既控制了初始预算，又保留了逐步提升精度的空间。