3. 焊接传热基本方程与边界条件

焊接热过程仿真的第一步，是把“电弧把热量送进工件、工件内部再把热量传开”这件事写成可求解的数学问题。它由四部分组成：工件内部的热传导控制方程、工件表面与外界交换热量的边界条件、熔化/凝固时吸收或释放的相变潜热，以及初始条件与移动热源的加载方式。四者缺一不可——方程决定热量在内部如何分布，边界条件决定热量从表面如何进出，潜热决定相变区温度曲线的“停顿”，初始条件和热源加载则决定整个瞬态过程从哪里开始、以什么节奏推进。

一、热传导控制方程

在焊接热过程的尺度下，热量在固体金属内部主要以热传导方式传递，遵循傅里叶定律：热流密度与温度梯度成正比、方向相反，q = −k∇T，其中 k 为导热系数（W/(m·K)），负号表示热量从高温流向低温。把傅里叶定律代入能量守恒，得到瞬态热传导控制方程：

ρ·c_p·(∂T/∂t) = ∂/∂x(k·∂T/∂x) + ∂/∂y(k·∂T/∂y) + ∂/∂z(k·∂T/∂z) + Q

ρ     密度 (kg/m³)
c_p   定压比热容 (J/(kg·K))
T     温度 (K 或 ℃，全文统一)
t     时间 (s)
k     导热系数 (W/(m·K))
Q     内热源项 (W/m³)，焊接中通常为 0，热源通过边界/体热源引入

若把 k 视为常数，方程简化为 ρc_p·∂T/∂t = k∇²T，即经典的热扩散方程，热扩散率 α = k/(ρc_p) 决定温度场扩散的快慢。对钢而言，α 约为 4×10⁻⁶～1×10⁻⁵ m²/s 量级，这是判断“热影响区有多宽”的关键参数。焊接中温度跨度从室温到 2000 ℃ 以上，k、c_p 随温度明显变化，因此工程仿真通常采用随温度变化的材料参数表，而不是单一常数。

二、对流与辐射边界条件

工件表面与环境的换热由两类机制叠加：对流和辐射。对流用牛顿冷却定律描述，热流密度 q_conv = h(T_s − T_∞)，h 为对流换热系数，T_s 为表面温度，T_∞ 为环境温度。辐射用斯特藩–玻尔兹曼定律描述，q_rad = εσ(T_s⁴ − T_∞⁴)，ε 为发射率，σ = 5.67×10⁻⁸ W/(m²·K⁴)。

由于辐射项是四次方，高温区辐射远强于对流。工程上常把两者合并为等效换热系数 h_eff = h + εσ(T_s² + T_∞²)(T_s + T_∞)，写成统一的第三类边界条件：−k·∂T/∂n = h_eff(T_s − T_∞)。例如钢板自然对流 h 约 5～15 W/(m²·K)，强制风冷可达 50～100 W/(m²·K)，而 1500 ℃ 时辐射等效系数可达数百 W/(m²·K)，因此高温区不能只给对流系数。

三、相变潜热处理

焊接熔池凝固和固态相变会释放潜热，使温度曲线在相变区间出现“平台”或斜率变缓。若忽略潜热，熔池冷却速度和热影响区宽度都会被高估。常用处理方法是等效比热法：把潜热 L 折算进相变温度区间的比热容，

c_p,eff = c_p + L / ΔT_相变区间

示例：低碳钢 L ≈ 270 kJ/kg，固相线 1450 ℃、液相线 1500 ℃
ΔT = 50 K → c_p,eff 额外增加 270000/50 = 5400 J/(kg·K)
远大于钢的常规比热容约 500～800 J/(kg·K)

另一种是焓法，直接以焓 H(T) 作为求解变量，避免在相变区对比热容做尖峰近似。两种方法在商业软件中都有对应选项，选择依据是相变区间宽度和网格能否分辨该区间。

四、初始条件与移动热源加载

初始条件通常取均匀室温：T(x,y,z,0) = T₀，例如 20 ℃。若工件经过预热，则初始条件改为预热温度场，如 150 ℃ 均匀场。移动热源的加载方式决定热输入的空间分布，常见有三类：

• 集中热源：把热流施加在一点或一小块区域，适合粗略估算，但网格必须极细，否则温度会失真。
• 高斯面热源：热流密度 q(r) = (3Q/(πr₀²))·exp(−3r²/r₀²)，Q 为有效热功率，r₀ 为热源半径，适合电弧表面加热。
• 双椭球体热源：前后半轴不同，能同时描述熔池前部陡、后部长的形貌，适合深熔和激光焊。

有效热功率 Q = η·U·I，η 为热效率（电弧焊约 0.7～0.85，激光焊约 0.4～0.6）。热源以焊接速度 v 沿焊缝移动，在瞬态分析中通过时间步循环更新热源中心位置。时间步长建议满足：单个时间步内热源移动距离不超过热源半径的 1/3，即 Δt ≤ r₀/(3v)。例如 v = 5 mm/s、r₀ = 3 mm 时，Δt ≤ 0.2 s。

把上述四部分组装起来，一个可运行的焊接传热模型就成立了：几何与网格确定后，赋予随温度变化的 k、c_p、ρ，在相变区间用等效比热或焓法加入潜热，表面施加合并后的对流–辐射边界，初始条件设为室温或预热温度，最后以高斯面热源或双椭球体热源按焊接速度移动加载。求解后重点观察三个量：熔池最高温度是否超过材料沸点、熔合线位置是否与金相吻合、冷却曲线在 800～500 ℃ 区间的停留时间 t_8/5 是否落在工艺要求范围内。这三项分别对应热源、边界与潜热设置是否正确，也是后续残余应力计算能否可信的前提。