3. 间隙运动副的几何描述与接触运动学

含间隙运动副的动力学建模，第一步不是写运动方程，而是把"间隙"这件事用几何量说清楚。间隙运动副与理想运动副的根本差别在于：理想铰链把两个构件约束在同一点，而含间隙铰链允许轴销在轴套内自由移动，直到两者表面接触才产生约束力。因此，我们需要一套几何描述，把"轴销相对轴套偏了多少、朝哪个方向、是否已经接触、接触点在哪、接触后是嵌入还是滑移"这些物理事实，转化为可计算的矢量与标量。

一、间隙矢量：把"偏心"写成矢量

设轴套（bearing）中心为 O_b，轴销（journal）中心为 O_j，两者半径分别为 R_b 与 R_j。定义径向间隙 c = R_b − R_j，它表示轴销在轴套内可自由移动的最大距离。间隙矢量定义为从轴套中心指向轴销中心的矢量：

e = r_j − r_b = [x_j − x_b, y_j − y_b]^T
e = |e|            偏心距（标量）
n = e / e          （e ≠ 0 时）单位法向，指向轴销中心

这里必须明确符号约定：法向 n 由轴套中心指向轴销中心，即"轴销被推离轴套中心的方向"。全文与图示均采用这一约定。当 e = 0 时轴销与轴套同心，法向未定义，此时可沿用上一时刻的法向或取任意方向，工程实现中通常做零向量保护。

间隙矢量是后续所有接触判断的起点。它同时携带两个信息：大小 e 决定是否接触，方向 n 决定接触力沿哪个方向作用。在平面机构中 e 是二维矢量；在空间机构中 e 是三维矢量，n 的构造方式相同。

二、接触点搜索与法向嵌入量

接触发生的判据是偏心距达到间隙值：e ≥ c。一旦接触，需要确定接触点位置与嵌入深度。在圆—圆接触模型下，接触点位于两圆心连线上：

接触点（轴套侧）：P_b = r_b + R_b · n
接触点（轴销侧）：P_j = r_j − R_j · n
法向嵌入量：δ = e − c = e − (R_b − R_j)

嵌入量 δ 是接触力模型的核心输入。δ < 0 表示尚未接触，接触力为零；δ = 0 表示刚好接触；δ > 0 表示已发生穿透，需要施加法向接触力把两者推开。实际仿真中，由于时间步进离散化，δ 通常不会精确为零，而是由负变正跨越零点的过程，因此接触检测需要配合事件处理或小步长策略，避免在一步内穿透过深导致力突变。

接触点搜索的本质是：先由 e 与 c 判断是否接触，再由 n 确定接触点所在的射线方向，最后由 δ 给出嵌入深度。这三步构成一个完整的接触几何求解流程，也是各类间隙铰模型（如连续接触力模型、非光滑模型）共同的几何前置环节。

三、切向滑移速度与局部坐标系

仅有法向嵌入量还不足以描述接触，因为接触面之间存在相对切向运动，它决定摩擦力方向与滑移状态。为此在接触点处建立局部坐标系：以法向 n 为一个轴，以切向 t 为另一个轴，t 由 n 逆时针旋转 90° 得到：

t = [−n_y, n_x]^T

接触点的相对速度由两构件的平动速度与转动引起的速度合成：

v_rel = (v_j + ω_j × (P_j − r_j)) − (v_b + ω_b × (P_b − r_b))
v_n = v_rel · n     法向相对速度（接近/分离）
v_t = v_rel · t     切向滑移速度

其中 v_n 用于判断接触是正在压紧还是正在分离，v_t 用于判断摩擦状态：当 |v_t| 大于给定阈值时处于滑动摩擦，摩擦力方向与 v_t 相反；当 |v_t| 接近零时进入黏滞状态，摩擦力由切向力平衡条件确定。局部坐标系 (n, t) 把复杂的二维相对运动分解为"压紧/分离"与"滑移/黏滞"两个独立通道，这正是摩擦间隙建模能够分而治之的关键。

四、几何量之间的依赖关系

把上述量串起来看，它们构成一条清晰的依赖链：位置 → 间隙矢量 e → 法向 n 与偏心距 e → 接触判据 e ≥ c → 嵌入量 δ → 接触力；同时速度 → 相对速度 v_rel → 法向速度 v_n 与切向滑移速度 v_t → 摩擦状态。几何量决定力的方向与大小，运动学量决定摩擦的滑动或黏滞状态，两者共同输入到接触力模型。

图中左侧给出几何示意：轴套中心 O_b 与轴销中心 O_j 之间的绿色矢量即间隙矢量 e，其方向单位化后得到法向 n；接触点 P 位于两圆心连线上，切向 t 由 n 逆时针旋转 90° 得到。右侧给出依赖链：位置量经间隙矢量、法向、接触判据、嵌入量最终决定法向接触力；速度量经相对速度分解为 v_n 与 v_t，决定摩擦状态。两条链共同输入接触力模型。

五、一个可复现的数值示例

取轴套半径 R_b = 20.0 mm，轴销半径 R_j = 19.8 mm，则径向间隙 c = 0.2 mm。设某时刻轴套中心位于原点，轴销中心位于 (0.15, 0.10) mm，则：

e = [0.15, 0.10]^T
e = sqrt(0.15² + 0.10²) = 0.1803 mm
n = [0.8321, 0.5547]^T
判据：e = 0.1803 < c = 0.2  →  未接触，δ < 0，接触力为 0

若轴销中心移到 (0.20, 0.12) mm，则 e = 0.2332 mm > 0.2 mm，发生接触：

n = [0.8575, 0.5145]^T
δ = e − c = 0.2332 − 0.2 = 0.0332 mm
t = [−0.5145, 0.8575]^T

此时嵌入量 δ = 0.0332 mm 为正，接触力沿 n 方向把轴销推回轴套中心。若同时给定轴销速度 v_j = [0.5, 0.0] m/s、轴套静止，则 v_rel = [0.5, 0.0] m/s，v_n = 0.5×0.8575 = 0.4288 m/s（正在压紧），v_t = 0.5×(−0.5145) = −0.2573 m/s（存在切向滑移，摩擦力方向与 t 相反）。这些数值可直接代入连续接触力模型（如 Lankarani–Nikravesh 模型）计算 F_n 与 F_t。

总结本节要点：间隙矢量 e 描述偏心的大小与方向；接触判据 e ≥ c 决定是否接触；法向嵌入量 δ = e − c 是接触力的输入；局部坐标系 (n, t) 把相对运动分解为法向压紧与切向滑移两个通道；切向滑移速度 v_t 决定摩擦处于滑动还是黏滞状态。这五个几何与运动学量，是后续建立含间隙铰接触力模型、进而完成多体系统动力学求解的必要基础。