2. 多体系统运动学描述

多体系统动力学的第一步，不是写力，而是把“系统在哪里、怎么动”用一套统一的数学语言描述清楚。接触碰撞问题尤其如此：两个物体是否已经接触、接触点相对速度是多少、碰撞瞬间约束是否突变，都取决于运动学描述是否准确。本节围绕广义坐标、约束方程、位置—速度—加速度关系、自由度与约束雅可比矩阵这条主线展开，为后续建立动力学方程和接触力模型打基础。

一、广义坐标：用最少的量描述位形

描述一个多体系统的位形，最直接的方式是给每个刚体指定笛卡尔坐标和姿态角。例如平面内一个刚体可用 (x, y, θ) 三个量描述，空间刚体则需 (x, y, z, ψ, θ, φ) 六个量。若系统有 nb 个刚体，平面系统共 3nb 个笛卡尔坐标，空间系统共 6nb 个。这些坐标记为 q，称为笛卡尔广义坐标。

但笛卡尔坐标之间往往不独立。转动铰约束两个物体的相对平动，只留下一个相对转角；移动铰约束相对转动，只留下一个相对位移。若直接用笛卡尔坐标建模，约束方程数量多、雅可比矩阵稀疏但规模大。工程中更常用相对坐标（拉格朗日坐标）：以铰链为单元，每个铰只引入它真正允许的相对运动量。例如转动铰引入 1 个转角，移动铰引入 1 个位移，球铰引入 3 个转角。这样广义坐标数就等于系统的独立运动量，约束方程最少。

两种坐标各有取舍：笛卡尔坐标便于统一处理任意拓扑和接触检测，相对坐标方程规模小但拓扑变化时需重构。实际仿真软件（如 ADAMS、RecurDyn）多采用笛卡尔坐标加约束方程的方式，正是因为它对接触、闭环和变拓扑更稳健。

二、约束方程：把“不能动”写成等式

约束是对广义坐标的限制，统一写成向量形式：

Φ(q, t) = 0

按是否显含时间，约束分为定常约束（Φ(q)=0）与非定常约束（Φ(q,t)=0）；按是否含速度项，分为几何约束（完整约束）与非完整约束。多体接触碰撞中绝大多数是完整约束。

以平面转动铰为例，物体 i 与 j 通过铰点 P 连接，铰点在各体上的局部坐标分别为 s̄ᵢ、s̄ⱼ。约束要求两体上该点重合：

Φ = rᵢ + Aᵢ s̄ᵢ − rⱼ − Aⱼ s̄ⱼ = 0   （2 个方程）

其中 r 为质心位置，A 为方向余弦矩阵。两个方程约束了两个相对平动自由度，剩下相对转角自由，正好对应转动铰的 1 个自由度。若再加一个“某方向相对转角为零”的驱动约束，就变成 0 自由度。

三、位置、速度、加速度的递推关系

约束方程对时间求一次导，得到速度约束方程：

Φ_q · q̇ = −Φ_t

其中 Φ_q = ∂Φ/∂q 就是约束雅可比矩阵，Φ_t = ∂Φ/∂t 来自非定常约束。再求一次导，得到加速度约束方程：

Φ_q · q̈ = −(Φ_q q̇)_q q̇ − 2Φ_qt q̇ − Φ_tt ≡ γ

右端 γ 集中了速度二次项和显含时间项，是已知量。这三层关系构成运动学分析的核心：位置层是非线性代数方程，需迭代求解；速度、加速度层是线性方程，可直接解出 q̇、q̈。接触碰撞中，接触点相对速度由 q̇ 映射得到，碰撞前后的速度跳变也在这套关系下处理。

四、自由度与雅可比矩阵的秩

自由度不是简单“坐标数减约束数”，而是：

DOF = n − rank(Φ_q)

只有当所有约束相互独立时，rank(Φ_q) = nc，才有 DOF = n − nc。若约束方程之间存在线性相关，雅可比矩阵出现行秩亏，系统存在冗余约束。冗余约束在纯运动学中不改变自由度，但在动力学中会导致约束力不唯一，求解时矩阵奇异。接触碰撞中，多个接触点同时作用、闭环机构、过约束装配都可能引入冗余，需要做秩检测或使用伪逆、约束稳定化方法处理。

雅可比矩阵的每一行对应一个约束，每一列对应一个广义坐标，元素 ∂Φᵢ/∂qⱼ 表示第 j 个坐标变化对第 i 个约束的影响。它同时承担三个角色：速度层和加速度层的系数矩阵、动力学方程中约束力的方向映射、以及接触法向的几何梯度。可以说，雅可比矩阵是运动学与动力学之间的桥梁。

五、一个可手算的示例

取平面双摆：两杆长均为 L=0.5 m，质量集中在杆端，广义坐标取两杆绝对转角 q = [θ₁, θ₂]，n=2。铰点约束使两杆首尾相接，若以杆端位置写约束，可整理为 1 个独立约束 Φ = θ₁ − θ₂ = 0（两杆固连情形），则 Φ_q = [1, −1]，秩为 1，DOF = 2 − 1 = 1，即整体只能绕基座转动，符合直觉。若两杆间为自由转动铰，则无此约束，DOF = 2，两杆可独立摆动。

再看接触：设杆端与地面距离为 d(q)，接触约束可写为 Φ_c = d(q) = 0，其雅可比行 ∂d/∂q 就是接触法向在广义坐标空间中的梯度。碰撞瞬间，法向相对速度 v_n = Φ_q · q̇，恢复系数模型正是基于这个量计算碰撞后速度。可见，接触力方向、穿透量、相对速度都从同一套运动学关系中导出。

小结：广义坐标决定描述规模，约束方程决定系统能怎么动，位置—速度—加速度三层关系决定如何求解，雅可比矩阵的秩决定自由度与冗余。把这四点串起来，后续的接触检测、碰撞冲量计算和动力学积分才有可靠的几何与运动学基础。